Преобразование координат

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном ${\displaystyle n}$-мерном многообразии.

Пример перехода от полярных координат ${\displaystyle \{r,\varphi \}}$ к декартовым ${\displaystyle \{x,y\}}$ на евклидовой плоскости:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}}$

Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.

Определение

Преобразование координат — совокупность правил[1], ставящих в соответствие каждому набору координат ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}}$ на некотором ${\displaystyle n}$-мерном многообразии другой набор координат ${\displaystyle \{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\\dots \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\end{cases}}}$

При этом после преобразования должно сохраняться однозначное соответствие между точками многообразия и наборами координат (допускаются исключения для некоторых особых точек).

Сводку основных формул преобразования для практически важных координатных систем см. в статье Система координат.

Трактовка

Активная (слева) и пассивная (справа) точки зрения на вращение. Слева поворачивается плоскость, справа — оси координат.

Преобразование координат может трактоваться двояко[2].

1. Пассивная точка зрения — происходит смена координат точек многообразия. Все точки при этом остаются на своих местах.
2. Активная точка зрения — преобразование ставит в соответствие каждой точке многообразия другую точку. Система координат при этом не меняется.

Пример для евклидовой плоскости:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases}}}$

Данное преобразование можно истолковать одним из двух способов.

1. Смена системы координат, которая увеличивает абсциссы всех точек на 1.
2. Перенос всех точек плоскости на 1 параллельно оси ${\displaystyle x.}$

Классификация

По типу формул все преобразования координат можно сгруппировать в разнообразные классы с общими типовыми свойствами. Далее перечислены некоторые практически особо важные классы преобразований, которые могут комбинироваться один с другим.

• Изометрия — преобразования, сохраняющие все длины. В том числе:
  • Вращение вокруг точки или оси.
  • Параллельный перенос.
  • Отражение. Сочетание этих трёх типов называется движением.
• Конформное отображение, сохраняющее все углы. В том числе:
  • Подобие — углы сохраняются, но все длины умножаются на некоторый постоянный коэффициент растяжения/сжатия.
• Аффинное преобразование.

Обычно выделенный класс является группой преобразований в смысле общей алгебры, то есть композиция двух преобразований относится к тому же классу и для каждого преобразования существует обратное. Исследование этой группы позволяет выделить симметрии и инварианты преобразований.

Инварианты

Инвариантом данного преобразования координат называется функция координат, значения которой после преобразования не меняются[3]. Например, вращения и переносы не меняют расстояния между точками евклидова пространства. Инварианты являются важной характеристикой группы преобразований.

См. также

• Вектор (геометрия)
• Инвариант (математика)
• Преобразования Галилея
• Преобразования Лоренца
• Тензор
• Эрлангенская программа

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Яглом И. М. Геометрические преобразования. Тома 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1956, 612 с.

Ссылки

• Заславский А. А. Геометрические преобразования Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine.

Примечания

1. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 362..
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 362—363..
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 363..