Предельный ординал

Ординал ${\displaystyle \alpha }$ называется предельным, если не существует ординала ${\displaystyle \beta }$ такого, что ${\displaystyle \alpha =\beta +1}$.

Пусть ${\displaystyle \alpha }$ — предельный ординал. Конфинальностью ${\displaystyle \alpha }$ называется число ${\displaystyle {\mbox{cf}}\,(\alpha )}$, равное наименьшему ${\displaystyle \beta }$, для которого существует функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle \beta }$ в ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \sup f(\xi )=\alpha }$. Кардинал ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ называется регулярным, если ${\displaystyle {\mbox{cf}}\,(\omega _{\alpha })=\omega _{\alpha }}$, сингулярным — если ${\displaystyle {\mbox{cf}}\,(\omega _{\alpha })<\omega _{\alpha }}$.