Построение с помощью циркуля и линейки

Построение с помощью циркуля и линейки
Медиафайлы на Викискладе

Построе́ния с по́мощью ци́ркуля и лине́йки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён.

В задачах на построение циркуль и линейка предполагаются идеальными инструментами, в частности:

• Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.
• Циркуль может иметь какой угодно (большой или малый) раствор (может чертить окружность произвольного радиуса) и сохраняет последний раствор, то есть может проводить одинаковые окружности где угодно.

Примеры

Разбиение отрезка пополам

Задача на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).
• По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.
• Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

Формальное определение

В задачах на построение рассматривается множество следующих объектов: все точки плоскости, все прямые плоскости и все окружности плоскости. В условиях задачи изначально задается (считается построенными) некоторое множество объектов. К множеству построенных объектов разрешается добавлять (строить):

1. произвольную точку;
2. произвольную точку на заданной прямой;
3. произвольную точку на заданной окружности;
4. точку пересечения двух заданных прямых;
5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности;
6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей;
7. произвольную прямую, проходящую через заданную точку;
8. прямую, проходящую через две заданные точки;
9. произвольную окружность с центром в заданной точке;
10. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками;
11. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.

Требуется с помощью конечного количества этих операций построить другое множество объектов, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.
2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.
3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

Этапы при решении задач на построения

Решения неэлементарных[1] построений оформляются по соответствующей схеме, состоящей из этапов. Ниже приведены четыре этапа с указанием их сути.

1. Анализ:
   • составить план решения задачи,
   • допустить или предположить, что задача решена,
   • выполнить рисунок.
2. Построение:
   • реализация плана решения задачи.
3. Доказательство:
   • доказать, что построенная фигура принадлежит требуемому семейству [используется определение данной геометрической фигуры либо её признаки] и
   • удовлетворяет условию задачи.
4. Исследование:
   • при каких ограничениях на данные искомую фигуру можно построить,
   • сколько решений (конфигураций) имеет задача.

Методы построений циркулем и линейкой

Основные методы

Основными методами решения геометрических задач на построение являются четыре метода:

1. метод геометрических мест точек (ГМТ), или метод пересечений множеств;
2. метод геометрических преобразований;
3. алгебраический метод;
4. метод цепочки многоугольников и, в частности, метод цепочки треугольников.

Более детальная классификация приведена в таблице.

№	Название метода	Что лежит в основе этого метода
1	Метод геометрических мест точек	Геометрические места точек
2	Методы геометрических преобразований: метод движения (по виду движения): а) параллельный перенос; б) симметрия: центральная и осевая; в) вращение (поворот); метод подобия; метод гомотетии; метод инверсии; метод спрямления; метод обратности.	Геометрические соответствия
3	Алгебраический метод: построение отрезков, длины которых заданы формулами; выражения уравнением связи известных и неизвестных величин в задаче, а затем нахождение (построение) корней этого уравнения.	Алгебраические выражения геометрических соответствий
4	Метод цепочки треугольников	Последовательность треугольников

Метод ГМТ (метод пересечений)

Метод симметрии

Метод спрямления

Метод подобия

Метод параллельного переноса

Алгебраический метод

Дополнительные методы

Метод гомотетии

Метод инверсии

Известные задачи

• Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.
• Задача Брахмагупты о построении вписанного четырёхугольника по четырём его сторонам.

Построение правильных многоугольников

Основная статья: Теорема Гаусса — Ванцеля

Построение правильного пятиугольника

Античным геометрам были известны способы построения правильных n-угольников для ${\displaystyle n=2^{k}}$, ${\displaystyle n=3\cdot 2^{k}}$, ${\displaystyle n=5\cdot 2^{k}}$ и ${\displaystyle n=3\cdot 5\cdot 2^{k}}$.

В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных n-угольников при ${\displaystyle n=2^{k}\cdot p_{1}\cdots p_{m}}$, где ${\displaystyle p_{i}}$ — различные простые числа Ферма. В 1836 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё древними греками:

• трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части;
• удвоение куба — построить ребро куба вдвое большего по объёму, чем данный куб;
• квадратура круга — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Лишь в XIX веке было строго доказано, что все эти три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Доказательство неразрешимости этих задач построения было достигнуто с помощью алгебраических методов, основанных на теории Галуа[2]. В частности, невозможность построения квадратуры круга следует из трансцендентности числа π.

Другая известная и неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис[3]. Эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии инструмента, выполняющего трисекцию угла, например томагавка.[4]

Допустимые отрезки для построения с помощью циркуля и линейки

Построение квадратного корня из 2.

Построение квадратного корня из 3.

Построение среднего геометрического двух отрезков.
Из подобия треугольников следует: ${\displaystyle BH={\sqrt {AH\cdot HC}}={\sqrt {ab}}.}$ Если принять длину отрезка ${\displaystyle AH}$ за единицу, то длина ${\displaystyle BH}$ будет численно равна квадратному корню из длины отрезка ${\displaystyle HC}$. Это один из способов построения квадратного корня заданного числа.

С помощью этих инструментов возможно построение отрезка, который по длине:

1. равен сумме длин нескольких отрезков;
2. равен разности длин двух отрезков;
3. численно равен произведению длин двух отрезков;
4. численно равен частному от деления длин двух отрезков;
5. численно равен квадратному корню из длины заданного отрезка (следует из возможности построения среднего геометрического двух отрезков, см. иллюстрацию).[5]

Для построения отрезка с длиной численно равной произведению, частному и квадратному корню из длин заданных отрезков необходимо задание на плоскости построения единичного отрезка (то есть отрезка длины 1), иначе задача неразрешима из-за отсутствия масштаба. Извлечение корней из отрезков с иными натуральными степенями, не являющимися степенью числа 2, невозможны с помощью циркуля и линейки. Так, например, невозможно при помощи циркуля и линейки из единичного отрезка построить отрезок длиной ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$. Из этого факта, в частности, следует неразрешимость задачи об удвоении куба.[6]

Возможные и невозможные построения

С формальной точки зрения, решение любой задачи на построение сводится к графическому решению некоторого алгебраического уравнения, причем коэффициенты этого уравнения связаны с длинами заданных отрезков. Поэтому можно сказать, что задача на построение сводится к отысканию действительных корней некоторого алгебраического уравнения.

Поэтому удобно говорить о построении числа — графического решения уравнения определённого типа.

Исходя из возможных построений отрезков возможны следующие построения:

• Построение решений линейных уравнений.
• Построение решений уравнений, сводящихся к решениям квадратных уравнений.

Иначе говоря, возможно строить лишь отрезки, равные арифметическим выражениям с использованием квадратного корня из исходных чисел (заданных длин отрезков).

Решение должно выражаться при помощи квадратных корней, а не радикалов произвольной степени. Если даже алгебраическое уравнение имеет решение в радикалах, то из этого не следует возможность построения циркулем и линейкой отрезка, равного его решению. Простейшее такое уравнение: ${\displaystyle x^{3}-2=0,}$ связанное со знаменитой задачей на удвоение куба, сводящаяся к этому кубическому уравнению. Как было сказано выше, решение этого уравнения (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$) невозможно построить циркулем и линейкой.

Возможность построить правильный 17-угольник следует из выражения для косинуса центрального угла его стороны:

${\displaystyle \cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}=-{\frac {1}{16}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\;+\;{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\;+\;}$

${\displaystyle +{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}},}$

что, в свою очередь, следует из возможности сведения уравнения вида ${\displaystyle x^{F_{n}}-1=0,}$ где ${\displaystyle F_{n}}$ — любое простое число Ферма, с помощью замены переменной к квадратному уравнению.

Вариации и обобщения

• Построения с помощью одного циркуля. По теореме Мора — Маскерони с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.
• Построения с помощью одной линейки. Очевидно, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения. В частности,
  • невозможно даже разбить отрезок на две равные части,
  • также невозможно найти центр данной окружности.

Однако,

• при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с одной линейкой можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Штейнера — Понселе).
• Если на линейке есть две засечки, то построения с её помощью эквивалентны построениям с помощью циркуля и линейки (важный шаг в доказательстве этого сделал Наполеон).

• Построения с помощью инструментов с ограниченными возможностями. В задачах такого рода инструменты (в противоположность классической постановке задачи) считаются не идеальными, а ограниченными: прямую через две точки с помощью линейки можно провести только при условии, что расстояние между этими точками не превышает некоторой величины; радиус окружностей, проводимых с помощью циркуля, может быть ограничен сверху, снизу или одновременно и сверху, и снизу.
• Построения с помощью плоского оригами см. правила Фудзиты
• Построения с помощью шарнирных механизмов — это построения на плоскости и в пространстве с помощью единичных стержней, связанных на концах шарнирами. Этим способом можно построить любое алгебраическое число[7].

Интересные факты

• Центральный узор на государственном флаге Ирана законодательно описывается как построение с помощью циркуля и линейки[8].

См. также

• Программные пакеты динамической геометрии позволяют выполнять виртуальные построения с помощью циркуля и линейки на мониторе компьютера.

Примечания

1. Элементарные построения — это основные задачи на построение такие, как построение биссектрисы угла, серединного перпендикуляра к отрезку, четвёртого пропорционального отрезка, угла, равного данному и пр. Как правило, они проводятся в два этапа, а именно построение и доказательство. Элементарных построений насчитывается свыше 20.
2. Кириченко, 2005, с. 1.
3. Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам? Архивная копия от 18 октября 2009 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
4. Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор Архивная копия от 26 августа 2015 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
5. Кириченко, 2005, с. 4.
6. Кириченко, 2005, с. 9.
7. Maehara, Hiroshi (1991), "Distances in a rigid unit-distance graph in the plane", Discrete Applied Mathematics, 31 (2): 193–200, doi:10.1016/0166-218X(91)90070-D.
8. Стандарт флага Ирана Архивная копия от 21 июня 2012 на Wayback Machine (перс.)

Литература

• Адлер А. Теория геометрических построений / Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. — Издание третье. — Л.: Учпедгиз, 1940. — 232 с.
• Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение. — Издание восемнадцатое. — М.: Учпедгиз, 1950. — 176 с.
• Аргунов Б. И., Балк М. Б. Геометрические построения на плоскости. Пособие для студентов педагогических институтов. — Издание второе. — М.: Учпедгиз, 1957. — 268 с.
• Воронец А. М. Геометрия циркуля. — М.—Л.: ОНТИ, 1934. — 40 с. — (Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л. А. Люстерника).
• Гейлер В. А. Неразрешимые задачи на построение // СОЖ. — 1999. — № 12. — С. 115—118.
• Кириченко В. А. Построения циркулем и линейкой и теория Галуа // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2005.
• Манин Ю. И. Книга IV. Геометрия // Энциклопедия элементарной математики. — М.: Физматгиз, 1963. — 568 с.
• Петерсен Ю. Методы и теории решения геометрических задач на построение. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — 114 с.
• Прасолов В. В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике).
• Геометрические построения // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 200—213. — 480 с.
• Штейнер Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга. — М.: Учпедгиз, 1939. — 80 с.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 80. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.

Ссылки

• Regular polygon constructions by Dr. Math at The Math Forum (англ.)
• Construction with the Compass Only at cut-the-knot (англ.)
• Angle Trisection by Hippocrates at cut-the-knot (англ.)
• Weisstein, Eric W. Angle Trisection (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Математические методы