Переходный процесс

Затухающие колебания — типичный переходный процесс, при котором некоторый параметр какое-то время колеблется вокруг установившегося значения

Перехо́дный проце́сс — в теории систем представляет собой изменения координат динамической системы во времени до некоторого установившегося состояния; возникает под влиянием возмущающих воздействий, изменяющих её состояние, структуру или параметры, а также вследствие ненулевых начальных условий[B: 1].

Характеристики

Изучение переходных процессов — важный шаг в процессе анализа динамических свойств и качества рассматриваемой системы. Широкое применение нашло экспериментальное и аналитическое определение и построение переходных процессов для наиболее неблагоприятных условий работы динамической системы при внешних возмущениях типа дельта-функции, ступенчатом или синусоидальных воздействиях[B: 1][B: 2].

Оценка качества САУ по виду кривой переходного процесса производится при помощи так называемых прямых показателей качества — перерегулирования, допустимого числа колебаний и времени переходного процесса. Обычно рассматривают переходный процесс, возникающий в системе при воздействии единичной ступенчатой функции, т. е. переходная функция замкнутой системы[1].

Время переходного процесса

Длительность переходного процесса в системе характеризует её быстродействие, а его характер определяет качество системы. За количественную характеристику длительности переходного процесса принимают время, необходимое выходному сигналу системы для того, чтобы приблизиться к своему установившемуся значению, т. е. время, по истечении которого выполняется равенство:

${\displaystyle |h(t)-h_{st}|\leqslant \epsilon ,}$

где ${\displaystyle h_{st}}$ — установившееся значение;

${\displaystyle \epsilon }$ — наперёд заданное положительное число[1].

В линейных непрерывных динамических системах принято рассматривать переходной процесс, вызванный единичным ступенчатым возмущением, но в этом случае установившееся значение достигается за бесконечно большое время. Если же ограничить точность достижения установившегося значения некоторой малой величиной ${\displaystyle \epsilon }$, то тогда длительность переходного процесса ${\displaystyle t}$ будет конечной величиной[B: 1].

В приложениях теории управления обычно в САУ принимают ${\displaystyle \epsilon }$ равной 0,01—0,05 от ${\displaystyle h_{st}}$, т. е. переходный процесс считают закончившимся, когда переходная функция отличается не более, чем на 1–5 % от своего установившегося (стационарного) значения[1].

Перерегулирование

Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) — отношение разности максимального значения переходной характеристики и её установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах.

Степень затухания переходного процесса

Степень затухания переходного процесса определяется относительным уменьшением соседних амплитуд переходной характеристики[B: 3].

Числителем является амплитуда первого колебания. Степень затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда второго колебания по сравнению с первым.

Степень затухания системы зависит от показателя колебательности ${\displaystyle M}$ (см. ниже).

Логарифмический декремент колебания

Логарифмический декремент колебания — натуральный логарифм отношения амплитуд двух соседних перерегулирований. Обратная ему величина показывает, за какое число колебаний их амплитуда уменьшается в ${\displaystyle e}$ раз (${\displaystyle e}$ — основание натуральных логарифмов). Уместен лишь для характеристики линейных систем[B: 4].

Колебательность

Характеризует склонность системы к колебаниям и определяется как модуль отношения амплитуд второго колебания к амплитудам первого колебания. Колебательность системы характеризуют при помощи показателя колебательности ${\displaystyle M}$, который представляет собой отношение резонансного пика при резонансной частоте к значению АЧХ при нулевой частоте[2].

Показатель колебательности связан со степенью колебательности формулой:

${\displaystyle M={\frac {1+m^{2}}{2m}}.}$

При увеличении ${\displaystyle M}$, уменьшается показатель колебательности ${\displaystyle m}$ и соответственно происходит уменьшение степени колебательности.

Установившаяся ошибка

Установившаяся ошибка системы — разница между предполагаемым и реальным значением выходного сигнала при времени, стремящемся к бесконечности. В идеальных астатических системах установившаяся ошибка равна нулю.

Примеры

Электрические цепи

Основная статья: Переходные процессы в электрических цепях

В электрической цепи переходный процесс характеризуется плавным инерционным изменением тока и напряжения в цепи в ответ на приложенное внешнее воздействие[B: 5].

Формула, описывающие протекание простейших переходных процессов (разряд конденсатора через резистор):

${\displaystyle U(t)=U_{0}e^{(-t/\tau )},\ }$ ${\displaystyle \tau =RC,}$

где ${\displaystyle U_{0}}$ — значение напряжения на конденсаторе в момент перед началом переходного процесса,

${\displaystyle \tau }$ — постоянная времени переходного процесса, С — ёмкость, R — сопротивление элементов цепей.

Для цепей, содержащих индуктивность, если можно пренебречь активным сопротивлением, постоянная времени равна:

${\displaystyle \tau =L/R.}$

См. также

• Бифуркационная память
• Время изодрома
• Зона нечувствительности
• Коэффициент демпфирования
• Переходные процессы в электрических цепях

Примечания

1. Пономарёв, 1974, § 5.7. Оценка запаса устойчивости и быстродействия по кривой процесса регулирования, с. 201—202.
2. МЭИ, 2011, 2.3. Решение линейных дифференциальных уравнений во временной области, с. 44—48.

Литература

Книги

1. Энциклопедия кибернетики / Глушков В. М.. — Киев: Глав. ред. УСЭ, 1974. — 624 с.
2. Основы автоматического регулирования и управления / Пономарев В. М. и Литвинов А. П.. — М.: Высшая школа, 1974. — 439 с.
3. Управление и инноватика в теплоэнергетике / Андрюшин А. В., Сабанин В. Р., Смирнов. Н. И.. — М.: МЭИ, 2011. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.
4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
5. Веников В. А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. — М.: Высшая школа, 1978. — 415 с.