Передаточная функция

Пeрeда́точная фу́нкция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи и цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета САР сводится к определению ее передаточной функции. При расчете настроек регуляторов широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной для разных систем.

Линейные стационарные системы

Пусть ${\displaystyle u(t)}$ — входной сигнал линейной стационарной системы, а ${\displaystyle y(t)}$ — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция ${\displaystyle W(s)}$ такой системы записывается в виде:

${\displaystyle W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}},}$

где ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ — оператор передаточной функции в преобразовании Лапласа,

${\displaystyle U(s)}$ и ${\displaystyle Y(s)}$ — преобразования Лапласа для сигналов ${\displaystyle u(t)}$ и ${\displaystyle y(t)}$ соответственно:

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }u(t)e^{-st}\,dt,}$

${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\equiv \int \limits _{0}^{+\infty }y(t)e^{-st}\,dt.}$

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть ${\displaystyle u(k)}$ — входной дискретный сигнал такой системы, а ${\displaystyle y(k)}$ — её дискретный выходной сигнал, ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$. Тогда передаточная функция ${\displaystyle W(z)}$ такой системы записывается в виде:

${\displaystyle W(z)={\frac {Y(z)}{U(z)}}}$,

где ${\displaystyle U(z)}$ и ${\displaystyle Y(z)}$ — z-преобразования для сигналов ${\displaystyle u(k)}$ и ${\displaystyle y(k)}$ соответственно:

${\displaystyle U(z)={\mathcal {Z}}\left\{u(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }u(k)z^{-k}}$,

${\displaystyle Y(z)={\mathcal {Z}}\left\{y(k)\right\}\equiv \sum _{k=0}^{\infty }y(k)z^{-k}}$.

Связь с другими динамическими характеристиками

• АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной ${\displaystyle s}$ на ${\displaystyle j\omega }$:

${\displaystyle W(j\omega )\equiv W(s),s=j\omega }$.

• Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Свойства передаточной функции, полюсы и нули передаточной функции

1. Для стационарных систем (т. е. систем с неизменяемыми параметрами компонентов) и с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle W(s)={\frac {R(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{0}s^{m}+b_{1}s^{m-1}+\dots +b_{m}}{a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\dots +a_{n}}}}$.

2. Знаменатель и числитель передаточной функции — это характеристические полиномы дифференциального уравнения движения линейной системы. Полюсами передаточной функции называют корни характеристического полинома знаменателя, нули — корни характеристического полинома числителя.

3. В физически реализуемых системах порядок полинома числителя передаточной функции ${\displaystyle m}$ не может превышать порядка полинома её знаменателя ${\displaystyle n}$, то есть ${\displaystyle m\leq n}$

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

5. При формальной замене ${\displaystyle s=j\omega }$ в ${\displaystyle W(s)}$ получается комплексная передаточная функция системы, описывающая одновременно амплитудно-частотную (в виде модуля этой функции) и фазо-частотную характеристики системы как её аргумент.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы ${\displaystyle U(t)}$ до вектора выхода ${\displaystyle Y(t)}$ — это матрица ${\displaystyle W=\{w_{i,j}\}}$, элемент ${\displaystyle i}$-й строки ${\displaystyle j}$-го столбца представляет собой передаточную функцию системы от ${\displaystyle i}$-й координаты вектора входа системы до ${\displaystyle j}$-й координаты вектора выхода.

См. также

• ЛАФЧХ
• Частотный отклик
• АФЧХ
• Билинейное преобразование
• Активационная функция

Ссылки

• Передаточная функция
• Программа преобразования передаточной функции в разностное уравнение