Окружность Фурмана

${\displaystyle N}$ — точка Нагеля треугольника, ${\displaystyle H}$ — его ортоцентр.

Окру́жность Фу́рмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и точкой Нагеля ${\displaystyle N.}$

Названа по имени немецкого математика Вильгельма Фурмана^[нем.] (1833—1904).

Радиус окружности Фурмана ${\displaystyle R_{F}}$ выражается через радиусы описанной ${\displaystyle R}$ и вписанной ${\displaystyle r}$ окружностей треугольника по теореме Эйлера:

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {R(R-2r)}}.}$

Выражение для ${\displaystyle R_{F}}$ через стороны треугольника ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c:}$

${\displaystyle R_{F}=R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}.}$

${\displaystyle R_{F}={\sqrt {{\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}}}$

Этому радиусу также равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром[1].

Примечания

1. Weisstein, Eric W. Fuhrmann Circle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

См. также

• Окружность Брокара также строится на отрезке в треугольнике как на диаметре.

Литература

• Johnson, Roger A.: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 228–229, 300 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
• Honsberger, Ross: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 49-52
• Scott J. A.: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Band 86, Nr. 506 (Jul., 2002), S. 326–328 (JSTOR Архивная копия от 15 ноября 2019 на Wayback Machine)
• Fuhrmann circle Архивная копия от 25 апреля 2005 на Wayback Machine