Нулевой морфизм

В теории категорий нулевой морфизм — это морфизм, обобщающий свойства линейных отображений в ноль.

Определение

Пусть C — категория, и f : X → Y — морфизм в C. f называется постоянным морфизмом, если для любого объекта W в C и любых g, h : W → X, fg = fh. Соответственно, f называется копостоянным морфизмом, если для любого объекта Z и любых g, h ∈ Mor_C(Y, Z), gf = hf. Нулевой морфизм — это морфизм, являющийся одновременно постоянным и копостоянным.

Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для любых двух объектов A и B зафиксирован морфизм 0_AB : A → B, такой что для любых объектов X, Y, Z в C и любых морфизмов f : Y → Z, g : X → Y следующая диаграмма коммутативна:

Тогда морфизмы 0_XY обязательно являются нулевыми. Если C — категория с нулевыми морфизмами, то 0_XY определены однозначно.

Примеры

• В категории групп (или модулей) нулевой морфизм — это гомоморфизм f : G → H, отображающий все элементы G в нейтральный элемент H. нулевой объект в категории групп — это тривиальная группа 1 = {1}. Каждый нулевой морфизм проносится через 1, то есть f : G → 1 → H.

• Более общо, пусть C — категория с нулевым объектом 0. Тогда для любых двух объектов X и Y существует единственная последовательность морфизмов

0_XY : X → 0 → Y

Семейство таких морфизмов снабжает C структурой категории с нулевыми морфизмами.

• Если C — предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов set Mor(X,Y) является абелевой группой и имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют семейство нулевых морфизмов, делая C категорией с нулевыми морфизмами.

• Категория множеств не имеет нулевого объекта, но имеет начальный объект, пустое множество ∅. Единственные копостоянные функции в Set — это функции вида ∅ → X.

Литература

• Параграф 1.7 Pareigis, Bodo. Categories and functors (неопр.). — Academic Press, 1970. — Т. 39. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5.
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Category Theory (неопр.). — Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973..