Норма (теория полей)

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение поля K степени n, ${\displaystyle \alpha }$ — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )}$ или просто ${\displaystyle N(\alpha )}$, если понятно, о каком расширении идет речь.

Свойства

• ${\displaystyle N(\alpha )=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha =0}$.
• ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}}$ для любого ${\displaystyle \alpha \in K}$
• ${\displaystyle N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )}$
• Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений ${\displaystyle K\subset E\subset F}$ имеем ${\displaystyle N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )}$
• Если E = K(α) — простое алгебраическое расширение и f (x) = x^n + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ — минимальный многочлен α, то ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0}}$

Выражение нормы через автоморфизмы E над K

Пусть σ₁, σ₂ … σ_m — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:

${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )}$

Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда ${\displaystyle N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha ))^{n/m}.}$

Пример

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе ${\displaystyle (1,i)}$ умножению на ${\displaystyle a+bi}$ соответствует матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

Определитель этой матрицы равен ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$, то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как ${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}},}$ и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.

См. также

• Норма в числовом поле
• След (теория полей)

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.