Множество Витали

Мно́жество Вита́ли — первый пример множества вещественных чисел, не имеющего меры Лебега (то есть в определённом смысле ему нельзя приписать длину, ни нулевую, ни какую-либо ещё). Этот пример, ставший классическим, описал итальянский математик Джузеппе Витали в 1905 году[1].

История

Годом ранее статьи Витали, в 1904 году, Анри Лебег опубликовал «Лекции об интегрировании и отыскании примитивных функций», где изложил свою теорию меры и высказал надежду, что она окажется применима к любому ограниченному множеству вещественных чисел. Открытие множества Витали показало, что эта надежда не оправдалась. В дальнейшем были обнаружены и другие контрпримеры, однако их построение всегда существенно опирается на аксиому выбора.

Построение

Рассмотрим следующее отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на отрезке ${\displaystyle [0,\;1]}$: ${\displaystyle x\sim y}$, если разница ${\displaystyle x-y}$ рациональна. Как обычно, это отношение эквивалентности разбивает интервал ${\displaystyle [0,\;1]}$ на классы эквивалентности, каждый из которых имеет счётную мощность, но их количество имеет мощность континуума. Далее, из каждого класса эквивалентности выберем по представителю — одной точке (здесь мы пользуемся аксиомой выбора).

Тогда полученное множество ${\displaystyle E}$ представителей будет неизмеримым.

Действительно, если сдвинуть ${\displaystyle E}$ счётное число раз на все рациональные числа из интервала ${\displaystyle [-1,1]}$, то объединение будет содержать весь отрезок ${\displaystyle [0,1],}$ но при этом оно будет содержаться в отрезке ${\displaystyle [-1,2]}$.

При этом «сдвинутые копии» множества ${\displaystyle E}$ не будут пересекаться друг с другом, что непосредственно следует из построения ${\displaystyle \sim }$ и ${\displaystyle E}$.

Предположим, что ${\displaystyle E}$ измеримо по Лебегу, тогда возможны 2 варианта:

• Мера E равна нулю. Тогда мера интервала ${\displaystyle [0,1]}$, как счётного объединения множеств меры нуль, тоже будет равна нулю.
• Мера E больше нуля. Тогда аналогично заключаем, что мера интервала ${\displaystyle [-1,2]}$, в силу счётной аддитивности меры Лебега, будет бесконечна.

В обоих случаях получается противоречие. Таким образом, множество Витали не измеримо по Лебегу.

См. также

• Парадокс Банаха — Тарского

Примечания

1. Vitali G. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta (итал.). — Bologna: Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905. — 5 p.

Литература

• Брылевская Л. И. К истории проблемы меры в первой половине XX века // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1986. — № 30. — С. 97—112.
• Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе = Counterexamples in Analysis. — М.: ЛКИ, 2007. — 258 с. — ISBN 978-5-382-00046-6..
• Ященко И. В. Парадоксы теории множеств (рус.). — М.: МЦНМО, 2002. — Вып. 20. — 40 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN 5-94057-003-8.

Ссылки

• О множестве Витали. Видеолекция Алексея Зубова