Метод характеристик

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применён и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемые характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

Квазилинейное уравнение на плоскости

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции ${\displaystyle u(x,y)}$

${\displaystyle a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).}$

Рассмотрим поверхность ${\displaystyle z=u(x,y)}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Нормаль к этой поверхности задается выражением

${\displaystyle (u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).}$

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

${\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}$

является касательным к поверхности ${\displaystyle z=u(x,y)}$ в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде[1]:

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},}$

или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}}$

То есть поверхность ${\displaystyle z=u(x,y)}$ образована однопараметрическим семейством описанных кривых. Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю ${\displaystyle (a,b,c)}$.

Уравнение переноса

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

${\displaystyle a\cdot u_{x}+u_{t}=0}$

где ${\displaystyle a}$ постоянная, а ${\displaystyle u}$ — функция переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))}$,

где ${\displaystyle (x(s),t(s))}$ — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}$

Теперь, если положить ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$ и ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$, получим

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}$

Как видно, вдоль характеристики ${\displaystyle (x(s),t(s))}$ исходное уравнение превращается в ОДУ ${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, ${\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}$, где точки ${\displaystyle (x_{s},t_{s})}$ и ${\displaystyle (x_{0},0)}$ лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$, при ${\displaystyle t(0)=0}$ решение — ${\displaystyle t=s}$,
• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$, при ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ решение — ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}$,
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$, при ${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$ решение — ${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$.

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном ${\displaystyle a}$, и решение ${\displaystyle u}$ остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Постановка задачи Коши

Для выбора частного решения из общего необходимо поставить задачу Коши, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальное условие задается на начальной гиперповерхности S:

${\displaystyle u|_{S}=f(x)}$

В общем случае почти невозможно сформулировать условие глобальной разрешимости задачи Коши, однако если ограничиться условием локальной разрешимости, можно воспользоваться следующей теоремой:

Решение задачи Коши в окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in S}$ существует и единственно, если проходящая через ${\displaystyle x_{0}}$ характеристика трансверсальна поверхности S[2]

Примечания

1. Delgado, 1997
2. Е. А. Кузнецов, Д. А. Шапиро МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Часть I - PDF Free Download  (неопр.) (недоступная ссылка — история). docplayer.ru. Дата обращения: 19 января 2020.

Литература

• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience
• Delgado, Manuel (1997), "The Lagrange-Charpit Method", SIAM Review, 39 (2): 298—304, Bibcode:1997SIAMR..39..298D, doi:10.1137/S0036144595293534, JSTOR 2133111
• Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
• John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and its Applications.
• Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education