Метод факторизации Ферма

Пьер Ферма

Метод факторизации Ферма — алгоритм факторизации (разложения на множители) нечётного целого числа ${\displaystyle n}$, предложенный Пьером Ферма (1601—1665) в 1643 году.

Метод основан на поиске таких целых чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, которые удовлетворяют соотношению ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=n}$, что ведёт к разложению ${\displaystyle n=(x-y)\cdot (x+y)}$.

История

В начале XVII века во Франции математические идеи начали активно распространяться между учёными посредством переписки. В 1638 году к кругу переписывающихся учёных присоединился Пьер Ферма. Переписка была удобным способом общения, так как Ферма жил в Тулузе, а многие его знакомые учёные жили в Париже. Одним из таких учёных был Марен Мерсенн, занимавшийся распространением писем, пересылкой и связью многих учёных между собой. 26 декабря 1638 года в письме Мерсенну Ферма упомянул, что нашёл метод, с помощью которого можно находить делители положительных чисел, но какие-либо подробности и описание метода он опустил. На тот момент Мерсенн также вёл переписку с французским математиком Бернаром Френиклем де Бесси, занимавшимся, как и Ферма, теорией чисел, в частности, делителями натуральных чисел и совершенными числами. В начале 1640 года, узнав о том, что Ферма получил метод нахождения делителей, Френикль пишет Мерсенну, и тот пересылает письмо Ферма. Мерсенн долгое время был связующим звеном между двумя математиками в их переписке. Именно в письмах Френиклю Ферма смог доказать корректность метода факторизации, а также впервые сформулировать и обосновать основные положения теоремы, которая позже была названа малой теоремой Ферма[1][2].

Обоснование

Метод Ферма основан на теореме о представлении числа в виде разности двух квадратов:

Если ${\displaystyle n>1}$ нечётно, то существует взаимно однозначное соответствие между разложением на множители ${\displaystyle n=a\cdot b}$ и представлением в виде разности квадратов ${\displaystyle n=x^{2}-y^{2}}$ с ${\displaystyle x>y>0}$, задаваемое формулами ${\displaystyle x=(a+b)/2,}$ ${\displaystyle y=(a-b)/2,}$ ${\displaystyle a=x+y,}$ ${\displaystyle b=x-y.}$

Доказательство

Если задана факторизация ${\displaystyle n=a\cdot b}$, то имеет место соотношение: ${\displaystyle n=a\cdot b=\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}}$. Таким образом получается представление в виде разности двух квадратов.

Обратно, если дано, что ${\displaystyle n=x^{2}-y^{2}}$, то правую часть можно разложить на множители: ${\displaystyle (x-y)(x+y)}$[3].

Описание алгоритма

Для разложения на множители нечётного числа ${\displaystyle n}$ ищется пара чисел ${\displaystyle (x,y)}$ таких, что ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=n}$, или ${\displaystyle (x-y)\cdot (x+y)=n}$. При этом числа ${\displaystyle (x+y)}$ и ${\displaystyle (x-y)}$ являются делителями ${\displaystyle n}$, возможно, тривиальными (то есть одно из них равно 1, а другое — ${\displaystyle n}$).

В нетривиальном случае равенство ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=n}$ равносильно ${\displaystyle x^{2}-n=y^{2}}$, то есть тому, что ${\displaystyle x^{2}-n}$ является квадратом.

Поиск квадрата такого вида начинается с ${\displaystyle x=\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil }$ — наименьшего числа, при котором разность ${\displaystyle x^{2}-n}$ неотрицательна.

Для каждого значения ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ начиная с ${\displaystyle k=1}$, вычисляют ${\displaystyle \left(\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil +k\right)^{2}-n}$ и проверяют, не является ли это число точным квадратом. Если не является, то ${\displaystyle k}$ увеличивают на единицу и переходят на следующую итерацию.

Если ${\displaystyle \left(\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil +k\right)^{2}-n}$ является точным квадратом, то есть ${\displaystyle x^{2}-n=\left(\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil +k\right)^{2}-n=y^{2},}$ то получено разложение:

${\displaystyle n=x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)=a\cdot b,}$

в котором ${\displaystyle x=\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil +k.}$

Если оно является тривиальным и единственным, то ${\displaystyle n}$ — простое.

На практике значение выражения на ${\displaystyle (k+1)}$-м шаге вычисляется с учётом значения на ${\displaystyle k}$-м шаге:

${\displaystyle (s+1)^{2}-n=s^{2}+2s+1-n,}$

где ${\displaystyle s=\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil +k.}$

Примеры

Пример с малым числом итераций

Возьмём число ${\displaystyle n=10873}$. Вычислим ${\displaystyle s=\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil =105.}$ Для ${\displaystyle k=0,1,2,...}$ будем вычислять значения функции ${\displaystyle s+k}$. Для дальнейшей простоты построим таблицу, которая будет содержать значения ${\displaystyle y=(s+k)^{2}-n}$ и ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ на каждом шаге итерации. Получим:

${\displaystyle k}$	${\displaystyle y}$	${\displaystyle {\sqrt {y}}}$
1	363	19,052
2	576	24

Как видно из таблицы, уже на втором шаге итерации было получено целое значение ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$.

Таким образом имеет место следующее выражение: ${\displaystyle (105+2)^{2}-n=24^{2}}$. Отсюда следует, что ${\displaystyle n=107^{2}-24^{2}=131\cdot 83=10873.}$

Пример с большим числом итераций

Пусть ${\displaystyle n=89755.}$ Тогда ${\displaystyle {\sqrt {n}}\approx 299,591}$ или ${\displaystyle s=\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil =300.}$

${\displaystyle k}$	${\displaystyle y}$	${\displaystyle {\sqrt {y}}}$
77	52374	228,854
78	53129	230,497
79	53886	232,134
80	54645	233,763
81	55406	235,385
82	56169	237

${\displaystyle {\sqrt {y}}=237}$

${\displaystyle a=s+k+{\sqrt {y}}=300+82+237=619}$

${\displaystyle b=s+k-{\sqrt {y}}=300+82-237=145}$

Данное разложение является не конечным, так как, очевидно, что число ${\displaystyle 145}$ не является простым: ${\displaystyle 145=29\cdot 5.}$

В итоге, конечное разложение исходного числа ${\displaystyle n}$ на произведение простых множителей ${\displaystyle 89755=5\cdot 29\cdot 619.}$

Оценка производительности

Наибольшая эффективность расчёта методом факторизации Ферма достигается в случае, когда множители числа ${\displaystyle n}$ примерно равны между собой. Это обеспечивает относительно короткий поиск последовательности[4]

${\displaystyle s^{2}-n,\ (s+1)^{2}-n,\ (s+2)^{2}-n,\ \dots \ (s+k)^{2}-n.}$

В наихудшем варианте, когда, к примеру, ${\displaystyle a}$ близко к ${\displaystyle n,}$ а ${\displaystyle b}$ близко к 1, алгоритм Ферма работает хуже по сравнению с методом перебора делителей. Число итераций для данного случая

${\displaystyle \operatorname {Iter} (n)={\frac {a+b}{2}}-\left\lceil n^{1/2}\right\rceil \approx {\frac {n}{2}}-\left\lceil n^{1/2}\right\rceil ,}$

то есть, очевидно, что оно имеет порядок ${\displaystyle O(n).}$

Метод факторизации Ферма будет работать не хуже метода перебора делителей, если ${\displaystyle \operatorname {Iter} (n)<n^{1/2},}$ отсюда можно получить оценку для большего делителя ${\displaystyle a<4n^{1/2}.}$ Следовательно, метод Ферма имеет экспоненциальную оценку и, как метод пробного деления, не подходит для разложения больших чисел. Можно повысить эффективность, если выполнить сначала пробное деление числа ${\displaystyle n}$ на числа от 2 до некоторой константы B, а затем выполнить поиск делителей методом Ферма. Такой подход помогает избавиться от малых делителей числа ${\displaystyle n}$[5].

Оптимизация методом перебора делителей

Предположим, что мы пытаемся разложить на множители число n = 2345678917 методом Ферма, но кроме b вычисляем также и a − b. Начиная с ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, можно записать:

a	48 433	48 434	48 435	48 436
b^2	76 572	173 439	270 308	367 179
b	276,7	416,5	519,9	605,9
a − b	48 156,3	48 017,5	47 915,1	47 830,1

Если бы теперь для разложения числа ${\displaystyle n}$ стали использовать метод перебора делителей, то имело бы смысл проверять делители ${\displaystyle n}$ только до 47 830, а не до 48 432, так как если бы существовал делитель больше, то он был бы найден методом Ферма. Итак, всего за четыре этапа методом Ферма были проверены все делители ${\displaystyle n}$ от 47 830 до 48 432.

Таким образом, можно комбинировать метод Ферма с методом перебора делителей. Достаточно выбрать число ${\displaystyle c>{\sqrt {n}}}$ и использовать метод Ферма для проверки делителей между ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, а оставшиеся делители можно проверить методом перебора делителей, причём проверять делители нужно только до числа ${\displaystyle c-{\sqrt {c^{2}-n}}}$[6].

В примере выше, когда ${\displaystyle c=48436}$, делители необходимо перебирать до числа 47830. Также, к примеру, можно выбрать число ${\displaystyle c=55000}$, дающее границу 28937.

Комбинация методов хороша, так как при достаточной разнице между делителями числа ${\displaystyle n}$ метод перебора делителей эффективнее метода Ферма[5]. Это иллюстрирует следующий пример:

a	60 001	60 002
b^2	1 254 441 084	1 254 561 087
b	35 418,1	35 419,8
a − b	24 582,9	24 582,2

Метод решета

При поиске квадрата натурального числа в последовательности чисел ${\displaystyle a^{2}-n}$ можно не вычислять квадратный корень из каждого значения этой последовательности, и даже не проверять все возможные значения для a. Для примера рассмотрим число ${\displaystyle n=2345678917}$:

a	48 433	48 434	48 435	48 436
b^2	76 572	173 439	270 308	367 179
b	276,7	416,5	519,9	605,9

Можно сразу, не вычисляя квадратного корня, сказать, что ни одно из значений ${\displaystyle b^{2}}$ в таблице не является квадратом. Достаточно, например, воспользоваться тем, что все квадраты натуральных чисел, взятые по модулю 20, равны одному из следующих значений: 0, 1, 4, 5, 9, 16. Эти значения повторяются при каждом увеличении a на 10. В примере ${\displaystyle n=17}$ по модулю 20, поэтому отнимая 17 (или добавляя 3), получаем, что число ${\displaystyle b^{2}}$ по модулю 20 равно одному из следующих: 3, 4, 7, 8, 12, 19. Но так как ${\displaystyle b}$ — натуральное число, то отсюда получаем, что ${\displaystyle b^{2}}$ по модулю 20 может быть равно только 4. Следовательно, ${\displaystyle a^{2}=1}$ по модулю 20 и ${\displaystyle a=1}$ или ${\displaystyle a=9}$ по модулю 10. Таким образом, можно проверять корень выражения ${\displaystyle a^{2}-n}$ не для всех ${\displaystyle a}$, а только для тех, которые оканчиваются на 1 или 9[6].

Аналогично в качестве модуля можно использовать любые степени различных простых чисел. Например, взяв то же число ${\displaystyle n=2345678917}$, находим

По модулю 16:	Квадраты равны	0, 1, 4 или 9
	n mod 16 равно	5
	следовательно, ${\displaystyle a^{2}}$ равно	9
	и a равно	3, 5, 11 или 13 по модулю 16
По модулю 9:	Квадраты равны	0, 1, 4, или 7
	n mod 9 равно	7
	следовательно, ${\displaystyle a^{2}}$ равно	7
	и a равно	4 или 5 по модулю 9

Оптимизация множителем

Метод Ферма хорошо работает в случае, когда у числа ${\displaystyle n}$ есть множитель, приблизительно равный квадратному корню из ${\displaystyle n}$[5].

Если известно примерное соотношение ${\displaystyle d/c}$ между множителями числа ${\displaystyle n}$, то можно выбрать рациональное число ${\displaystyle u/v}$, приблизительно равное этому соотношению. Тогда можно записать следующее равенство: ${\displaystyle nuv=cu\cdot dv}$, где множители ${\displaystyle cu}$ и ${\displaystyle dv}$ близки в силу сделанных предположений. Поэтому применив метод Ферма для разложения числа ${\displaystyle nuv}$, их можно быстро найти. Далее для нахождения ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ можно использовать равенства ${\displaystyle \gcd(n,cu)=c}$ и ${\displaystyle \gcd(n,dv)=d}$ (в случае, если ${\displaystyle u}$ не делится на ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle v}$ не делится на ${\displaystyle d}$).

В общем случае, когда соотношение между множителями ${\displaystyle n}$ не известно, можно попытаться использовать разные соотношения ${\displaystyle u/v}$, и пробовать разложить получившееся в результате число ${\displaystyle nuv}$. Алгоритм, основанный на данном методе, был впервые предложен американским математиком Шерманом Леманом в 1974 году[7] и называется метод Лемана. Алгоритм детерминированно раскладывает данное натуральное число ${\displaystyle n}$ на множители за ${\displaystyle O(n^{1/3})}$ арифметических операций[8], однако в настоящее время представляет только исторический интерес и на практике почти не используется[9].

Метод Крайчика — Ферма

Обобщение метода Ферма было предложено Морисом Крайчиком^[англ.] в 1926 году. Он предложил рассматривать вместо пар чисел ${\displaystyle (x,y),}$ которые удовлетворяют соотношению ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=n,}$ искать пары чисел, удовлетворяющих более общему сравнению ${\displaystyle x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {n}}.}$ Такое сравнение можно найти, перемножив несколько сравнений вида ${\displaystyle u_{i}^{2}\equiv v_{i}}$, где ${\displaystyle v_{i}}$ — небольшие числа, произведения которых будет квадратом. Для этого можно рассмотреть пары чисел ${\displaystyle (u_{i},v_{i})}$, где ${\displaystyle u_{i}}$ — целый числа чуть больше ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$, а ${\displaystyle v_{i}=u_{i}^{2}-n}$. Крайчик заметил, что многие из полученных таким образом чисел ${\displaystyle v_{i}}$ раскладываются на небольшие простые множители, то есть числа ${\displaystyle v_{i}}$ являются гладкими[10].

Последовательность действий по Крайчику[11]

1. Найти множество пар ${\displaystyle (x,y),}$ которые удовлетворяют соотношению ${\displaystyle x\equiv y{\pmod {n}}.}$
2. Определить полное или частное разложение чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ на множители для каждой пары ${\displaystyle (x,y).}$
3. Выбрать пары ${\displaystyle (x,y),}$ произведение которых удовлетворит соотношению ${\displaystyle x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {n}}.}$
4. Разложить число ${\displaystyle n}$ на множители.

Пример[12]

С помощью метода Крайчика — Ферма разложим число ${\displaystyle n=2041.}$ Число ${\displaystyle 46}$ является первым, чей квадрат больше числа ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle 46^{2}=2116.}$

Вычислим значение функции ${\displaystyle v(u)=u^{2}-n}$ для всех ${\displaystyle u=46,47,\dots }$ Мы получим ${\displaystyle 75,168,263,360,459,560,\dots }$

По методу Ферма, нужно было бы продолжать вычисления пока не был бы найден квадрат какого-либо числа. По методу Крайчика — Ферма далее нужно последовательно искать такие ${\displaystyle u_{k}}$, для которых ${\displaystyle v(u_{1})v(u_{2})\dots v(u_{k})=y^{2},u_{1}u_{2}\dots u_{k}=x.}$ Тогда

${\displaystyle x^{2}=u_{1}^{2}u_{2}^{2}\dots u_{k}^{2}\equiv (u_{1}^{2}-n)\cdot (u_{2}^{2}-n)\cdots (u_{k}^{2}-n)=v(u_{1})\cdot v(u_{2})\dots v(u_{k})=y^{2}{\pmod {n}}.}$

Из алгоритма Крайчика — Ферма следует, что все полученные числа ${\displaystyle (u_{k}^{2}-n)}$ можно легко факторизовать.

Действительно: ${\displaystyle 75=3\cdot 5^{2},\ 168=2^{3}\cdot 3\cdot 7,\ 360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5,\ 560=2^{4}\cdot 5\cdot 7.}$

Очевидно, что произведение полученных четырёх чисел будет квадратом: ${\displaystyle 2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5^{4}\cdot 7^{2}.}$ Тогда теперь можно вычислить ${\displaystyle (x,y):}$

${\displaystyle x=46\cdot 47\cdot 49\cdot 51\equiv 311{\pmod {2041}},}$

${\displaystyle y=2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\equiv 1416{\pmod {2041}}.}$

Далее с помощью алгоритма Евклида находим ${\displaystyle \gcd(1416-311,2041)=13}$.

Таким образом, ${\displaystyle 2041=13\cdot 157.}$

Алгоритм Диксона

Основная статья: Алгоритм Диксона

В 1981 году математик Карлтонского университета Джон Диксон опубликовал разработанный им метод факторизации на основе идей Крайчика[13][14][15][16].

Алгоритм Диксона основан на понятии о факторных базах и является обобщением алгоритма факторизации Ферма. В алгоритме вместо пар чисел, удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=n}$ ищутся пары чисел, удовлетворяющих более общему уравнению ${\displaystyle x^{2}\equiv y^{2}{\pmod {n}}}$, для решения которого Крайчиком было замечено несколько полезных фактов. Вычислительная сложность алгоритма[17]

${\displaystyle T=O\left({L\left({n}\right)}^{2}\right),}$

где ${\displaystyle L\left({n}\right)=\exp {\left({\sqrt {\ln {n}\cdot \ln {\ln {n}}}}\right)}.}$

Другие улучшения

Идея метода факторизации Ферма лежит в основе одних из самых быстрых алгоритмов для факторизации больших полупростых чисел — методе квадратичного решета и общем методе решета числового поля. Основное отличие метода квадратичного решета от метода Ферма заключается в том, что вместо поиска квадрата в последовательности ${\displaystyle a^{2}-n}$ находятся пары таких чисел, чьи квадраты равны по модулю ${\displaystyle n}$ (каждая из этих пар может являться разложением числа ${\displaystyle n}$). Затем уже среди найденных пар чисел ищется та пара, которая и является разложением числа ${\displaystyle n}$.[18]

Развитием метода факторизации Ферма является метод квадратичных форм Шенкса (также известен как SQUFOF), основанный на применении квадратичных форм. Интересно то, что для 32-разрядных компьютеров алгоритмы, основанные на данном методе, являются безусловными лидерами среди алгоритмов факторизации для чисел от ${\displaystyle 10^{10}}$ до ${\displaystyle 10^{18}}$[19].

Применение

Алгоритм факторизации Ферма может быть применён для криптоанализа RSA. Если простые числа ${\displaystyle p,q}$, произведение которых равно ${\displaystyle n}$, близки друг другу, то они могут быть найдены методом факторизации Ферма. После чего можно найти секретную экспоненту ${\displaystyle d}$, взломав таким образом RSA[20][21]. На момент опубликования алгоритма RSA было известно лишь небольшое количество алгоритмов факторизации, самым известным из которых являлся метод Ферма.

Интересные факты

Известный английский экономист и логист У. С. Джевонс сделал в своей книге «Принципы науки» (англ. The Principles of Science, 1874 год) следующее предположение[22]:

По данным двум числам можно найти их произведение простым и надёжным способом, но совсем другое дело, когда для большого числа необходимо найти его множители. Можно ли сказать, какие два числа перемножены, чтобы получилось число 8 616 460 799? Я думаю, что вряд ли кто-либо кроме меня знает это.

Интересно то, что указанное Джевонсом число может быть разложено вручную методом Ферма с применением метода решета примерно за 10 минут. Действительно, ${\displaystyle \left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil =92\,825}$. Используя метод решета, можно быстро прийти к соотношению

${\displaystyle 92\,880^{2}-n=10\,233\,601=3199^{2}.}$

Таким образом разложение на простые множители имеет вид ${\displaystyle 8\,616\,460\,799=89\,681\cdot 96\,079}$.

Основная же мысль Джевонса о сложности разложения чисел на простые множители по сравнению с их перемножением справедлива, но только в том случае, когда речь идёт о произведении чисел, не настолько близких друг к другу[23].

См. также

• Метод пробных делений
• Метод Лемана
• P-1 алгоритм Полларда
• Ро-алгоритм Полларда
• P+1 алгоритм Уильямса
• Факторизация с помощью эллиптических кривых
• Общий метод решета числового поля
• Алгоритм Диксона
• Метод квадратичных форм Шенкса
• Метод квадратичного решета

Примечания

1. Fletcher, Colin R.^[англ.]. A reconstruction of the Frenicle-Fermat correspondence of 1640 (англ.) // Historia Mathematica^[англ.] : journal. — 1991. — Vol. 18, no. 4. — P. 311—410. (недоступная ссылка)
2. Pierre de Fermat; Paul Tannery; Charles Henry; Apollonius, of Perga.; Jacques de Billy. 2 // Œuvres de Fermat. — Paris: Gauthier-Villars et fils, 1894.
3. Коблиц, 2001, с. 161.
4. David Bishop. Introduction to Cryptography with Java Applets (англ.). — Jones and Bartlett Inc., 2003. — P. 224. — 384 p. — ISBN 0-7637-2207-3.
5. Ишмухаметов, 2011, с. 54.
6. McKee, James (1991). "Speeding Fermat's factoring method". Math. Comp. 68 (1999), 1729-1737. {{cite news}}: Игнорируется текст: "http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01133-3/S0025-5718-99-01133-3.pdf" (справка)
7. Lehman, R. Sherman. Factoring Large Integers // Mathematics of Computation. — 1974. — Т. 28, № 126. — С. 637—646. — doi:10.2307/2005940.
8. Lehman, R. Sherman. Factoring Large Integers (неопр.) // Mathematics of Computation^[англ.]. — 1974. — Т. 28, № 126. — С. 637—646. — doi:10.2307/2005940. Архивировано 4 марта 2016 года.
9. Нестеренко, 2011, p. 140.
10. Ишмухаметов, 2011, с. 115.
11. Нестеренко, 2011, с. 164.
12. Carl Pomerance. A Tale of Two Sieves (англ.) // Notices Amer. Math. Soc. — 1996. — Vol. 43, no. 12. — P. 1473—1485. Архивировано 11 ноября 2020 года.
13. Dixon, J. D.^[англ.]. Asymptotically fast factorization of integers (англ.) // Math. Comp.^[англ.] : journal. — 1981. — Vol. 36, no. 153. — P. 255—260. — doi:10.1090/S0025-5718-1981-0595059-1. — JSTOR 2007743.
14. Ишмухаметов, 2011, с. 117.
15. Черемушкин, 2002, с. 75-77.
16. Василенко, 2003, с. 57-60.
17. Черемушкин, 2002, с. 79-80.
18. Pomerance, Carl (1996-12). "A Tale of Two Sieves" (PDF). Notices of the AMS. Vol. 43, no. 12. pp. 1473—1485. Архивировано (PDF) 11 ноября 2020. Дата обращения: 18 ноября 2012.
19. Yike Guo, 2002, High Performance Data Mining: Scaling Algorithms, Applications and Systems..
20. Benne de Weger. Revisiting Fermat’s Factorization for the RSA Modulus (англ.) // Appl. Algebra Eng. Commun. Comput. : journal. — 2002. — Т. 13, № 1. — С. 17—28. — doi:10.1007/s002000100088. Архивировано 7 марта 2016 года.
21. Sounak Gupta, Goutam Paul. Revisiting Fermat’s Factorization for the RSA Modulus (англ.) // CoRR : journal. — 2009. — Т. abs/0910.4179. Архивировано 3 декабря 2016 года.
22. Principles of Science, Macmillan & Co., 1874, p. 141.
23. Кнут, 2007, с. 435.

Литература

на русском языке

1. Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. — М.: МЦНМО, 2003. — 328 с. — ISBN 5-94057-103-4. Архивная копия от 27 января 2007 на Wayback Machine
2. Ишмухаметов Ш. Т. Методы факторизации натуральных чисел: учебное пособие. — Казань: Казан. ун., 2011. — 190 с.
3. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — 2-е. — М.: Научное издательство ТВП, 2001. — 254 с. — ISBN 5-94057-103-4.
4. Нестеренко А. Введение в современную криптографию.Теоретико-числовые алгоритмы. — 2011. — 190 с.
5. Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. — М.: МЦНМО, 2002. — 104 с. — ISBN 5-94057-060-7. Архивная копия от 31 мая 2013 на Wayback Machine
6. Дональд Кнут. Искусство программирования, том 2. Получисленные методы = The Art of Computer Programming, vol.2. Seminumerical Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — 832 с. — ISBN 5-8459-0081-6.

на английском языке

1. Bressoud D. M. Factorization and Primality Testing. — New York: Springer-Verlag, 1989. — 260 с. — ISBN 0-387-97040-1. (недоступная ссылка)

1. Mahoney M. S. The Mathematical Career of Pierre de Fermat. — 2. — Paris: Princeton Univ. Press, 1994. — С. 324-332. — 438 с. — ISBN 0-691-03666-7.

1. Yike Guo, R.L. Grossman. High Performance Data Mining: Scaling Algorithms, Applications and Systems. — 2. — 2002. — 112 с. — ISBN 978-0792377450.

на французском языке

1. Kraitchik M. Factorization and Primality Testing. — Paris: Gauthier-Villars, 1926. — Т. 2. — С. 195-208. — 251 с. — ISBN 0-387-97040-1.

Ссылки

• Онлайн калькулятор на основе метода факторизации Ферма