Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида . Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году[1]. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения в виде , где — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении к точному значению при приближённое решение стремилось бы к желаемому точному решению уравнения [2].
Оператор , зависящий от параметра , называется регуляризующим для уравнения , если он обладает свойствами:
Определён для всякого и любого .
Если выполняется , то существует такое , что для любого найдётся такое , что если , то , где , , — метрика в пространстве (то есть — расстояние между векторами и ), а — метрика в пространстве .
Способ построения регуляризирующих операторов
Для широкого класса уравнений А. Н. Тихонов показал, что решение задачи минимизации функционала можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра . Функционал называется стабилизатором задачи .
Пример применения
Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение системы линейных уравнений с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы и столбца в случае, когда значения элементов матрицы и столбца свободных членов заданы лишь приближённо.
Постановка задачи
Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: . Назовем сферическими нормами величины . Обозначим как известные приближённые значения элементов
матрицы и столбца . Матрицу и столбец будем называть -приближением матрицы и столбца , если выполняются неравенства . Введём в рассмотрение функционал . Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений к отысканию того элемента , на котором достигает минимальное значение этот функционал.
Теорема Тихонова
Пусть матрица и столбец удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы , — нормальное решение этой системы, — -приближение
матрицы , — -приближение столбца , и — какие-либо убывающие функции , стремящиеся к нулю при и такие, что . Тогда для любого найдётся положительное число такое, что при любом и при любом ,
удовлетворяющем условию , элемент , доставляющий минимум функционалу , удовлетворяет неравенству [3][4].