Метод Гаусса — Зейделя решения системы линейных уравнений

Не следует путать с методом покоординатного спуска Гаусса — Зейделя — методом поиска экстремума.

Для термина «Метод Гаусса» см. также другие значения.

Ме́тод Га́усса — Зе́йделя (метод Зейделя, процесс Либмана, метод последовательных замещений) — является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений.

Назван в честь Зейделя и Гаусса.

Постановка задачи

Возьмём систему: ${\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}}$, где ${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{array}}\right),\quad {\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)}$

Или ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\&&\\a_{n1}x_{1}+\ldots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.}$

И покажем, как её можно решить с использованием метода Гаусса-Зейделя.

Метод

Чтобы пояснить суть метода, перепишем задачу в виде

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcr}a_{11}x_{1}&=&-a_{12}x_{2}-a_{13}x_{3}-\ldots -a_{1n}x_{n}+b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=&-a_{23}x_{3}-\ldots -a_{2n}x_{n}+b_{2}\\\ldots &&\\a_{(n-1)1}x_{1}+a_{(n-1)2}x_{2}+\ldots +a_{(n-1)(n-1)}x_{n-1}&=&-a_{(n-1)n}x_{n}+b_{n-1}\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{n(n-1)}x_{n-1}+a_{nn}x_{n}&=&b_{n}\end{array}}\right.}$

Здесь в ${\displaystyle j}$-м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие ${\displaystyle x_{i}}$, для ${\displaystyle i>j}$. Эта запись может быть представлена как

${\displaystyle (\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}=-\mathrm {U} \,{\vec {x}}+{\vec {b}},}$

где в принятых обозначениях ${\displaystyle \mathrm {D} }$ означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы ${\displaystyle A}$, а все остальные нули; тогда как матрицы ${\displaystyle \mathrm {U} }$ и ${\displaystyle \mathrm {L} }$ содержат верхнюю и нижнюю треугольные части ${\displaystyle A}$, на главной диагонали которых нули.

Итерационный процесс в методе Гаусса — Зейделя строится по формуле

${\displaystyle (\mathrm {L} +\mathrm {D} ){\vec {x}}^{(k+1)}=-\mathrm {U} {\vec {x}}^{(k)}+{\vec {b}},\quad k=0,1,2,\ldots }$

после выбора соответствующего начального приближения ${\displaystyle {\vec {x}}^{(0)}}$.

Метод Гаусса — Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения ${\displaystyle {\vec {x}}^{(i)}}$ используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccccccccccc}{x_{1}}^{(k+1)}&=&c_{12}{x_{2}^{(k)}}&+&c_{13}x_{3}^{(k)}&+&{\ldots }&+&c_{1n}{x_{n}}^{(k)}&+&d_{1}\\{x_{2}}^{(k+1)}&=&c_{21}{x_{1}^{(k+1)}}&+&c_{23}x_{3}^{(k)}&+&{\ldots }&+&c_{2n}{x_{n}}^{(k)}&+&d_{2}\\\ldots &&&&&&&&&&\\{x_{n}}^{(k+1)}&=&c_{n1}{x_{1}^{(k+1)}}&+&c_{n2}{x_{2}^{(k+1)}}&+&{\ldots }&+&c_{n(n-1)}{x_{n-1}}^{(k+1)}&+&d_{n}\end{array}}\right.,}$

где

${\displaystyle c_{ij}={\begin{cases}-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}},&j\neq i,\\0,&j=i.\end{cases}}\quad d_{i}={\frac {b_{i}}{a_{ii}}},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Таким образом, i-я компонента ${\displaystyle (k+1)}$-го приближения вычисляется по формуле

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{i-1}c_{ij}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=i}^{n}c_{ij}x_{j}^{(k)}+d_{i},\quad i=1,\ldots ,n.}$

Например, при ${\displaystyle n=3}$:

${\displaystyle x_{1}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{1-1}c_{1j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=1}^{3}c_{1j}x_{j}^{(k)}+d_{1}}$, то есть ${\displaystyle x_{1}^{(k+1)}=c_{11}x_{1}^{(k)}+c_{12}x_{2}^{(k)}+c_{13}x_{3}^{(k)}+d_{1},}$

${\displaystyle x_{2}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{2-1}c_{2j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=2}^{3}c_{2j}x_{j}^{(k)}+d_{2}}$, то есть ${\displaystyle x_{2}^{(k+1)}=c_{21}x_{1}^{(k+1)}+c_{22}x_{2}^{(k)}+c_{23}x_{3}^{(k)}+d_{2},}$

${\displaystyle x_{3}^{(k+1)}=\sum _{j=1}^{3-1}c_{3j}x_{j}^{(k+1)}+\sum _{j=3}^{3}c_{3j}x_{j}^{(k)}+d_{3}}$, то есть ${\displaystyle x_{3}^{(k+1)}=c_{31}x_{1}^{(k+1)}+c_{32}x_{2}^{(k+1)}+c_{33}x_{3}^{(k)}+d_{3}.}$

Условие сходимости

Приведём достаточное условие сходимости метода.

Теорема. Пусть ${\displaystyle \|\mathrm {A} _{2}\|<1}$, где ${\displaystyle \mathrm {A} _{2}=-(\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}\,\mathrm {U} ,\quad (\mathrm {L} +\mathrm {D} )^{-1}}$ – матрица, обратная к ${\displaystyle (\mathrm {L} +\mathrm {D} )}$. Тогда при любом выборе начального приближения ${\displaystyle {\vec {x}}^{(0)}}$: метод Гаусса-Зейделя сходится; скорость сходимости метода равна скорости сходимости геометрической прогрессии со знаменателем ${\displaystyle q=\|\mathrm {A} _{2}\|}$; верна оценка погрешности: ${\displaystyle \|{\vec {x}}^{(k)}-{\vec {x}}\|=q^{k}\,\|{\vec {x}}^{(0)}-{\vec {x}}\|}$.

Условие окончания

Условие окончания итерационного процесса Зейделя при достижении точности ${\displaystyle \varepsilon }$ в упрощённой форме имеет вид:

${\displaystyle \parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \leq \varepsilon }$

Более точное условие окончания итерационного процесса имеет вид

${\displaystyle \parallel Ax^{(k)}-b\parallel \leq \varepsilon }$

и требует больше вычислений. Хорошо подходит для разреженных матриц.

Пример реализации на C++

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

// Условие окончания
bool converge(double xk[10], double xkp[10], int n, double eps)
{
	double norm = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		norm += (xk[i] - xkp[i]) * (xk[i] - xkp[i]);
	return (sqrt(norm) < eps);
}

double okr(double x, double eps)
{
	int i = 0;
	double neweps = eps;
	while (neweps < 1)
	{
		i++;
		neweps *= 10;
	}
	int okr = pow(double(10), i);
	x = int(x * okr + 0.5) / double(okr);

	return x;
}

bool diagonal(double a[10][10], int n)
{
	int i, j, k = 1;
	double sum;
	for (i = 0; i < n; i++) {
		sum = 0;
		for (j = 0; j < n; j++) sum += abs(a[i][j]);
		sum -= abs(a[i][i]);
		if (sum > a[i][i]) 
		{
			k = 0; 
			cout << a[i][i] << " < " << sum << endl;
		}
		else
		{
			cout << a[i][i] << " > " << sum << endl;
		}
		

	}

	return (k == 1);

}

int main()
{
	setlocale(LC_ALL, "");

	double eps, a[10][10], b[10], x[10], p[10];
	int n, i, j, m = 0;
	int method;
	cout << "Введите размер квадратной матрицы: ";
	cin >> n;
	cout << "Введите точность вычислений: ";
	cin >> eps;
	cout << "Заполните матрицу А: " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
		for (j = 0; j < n; j++)
		{
			cout << "A[" << i << "][" << j << "] = ";
			cin >> a[i][j];
		}
	cout << endl << endl;
	cout << "Ваша матрица А: " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		for (j = 0; j < n; j++)
			cout << a[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}

	cout << endl;

	cout << "Заполните столбец свободных членов: " << endl << endl;
	for (i = 0; i < n; i++)
	{
		cout << "В[" << i + 1 << "] = ";
		cin >> b[i];
	}

	cout << endl << endl;


	/*
	Ход метода, где:
	a[n][n] - Матрица коэффициентов
	x[n], p[n] - Текущее и предыдущее решения
	b[n] - Столбец правых частей
	Все перечисленные массивы вещественные и
	должны быть определены в основной программе,
	также в массив x[n] следует поместить начальное
	приближение столбца решений (например, все нули)
	*/

	for (int i = 0; i < n; i++)
		x[i] = 1;

	cout << "Диагональное преобладание: " << endl;
	if (diagonal(a, n)) {
		do
		{
			for (int i = 0; i < n; i++)
				p[i] = x[i];
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				double var = 0;
				for (int j = 0; j < n; j++)
                    if(j!=i) var += (a[i][j] * x[j]);
				
				x[i] = (b[i] - var) / a[i][i];
			}
			m++;
		} while (!converge(x, p, n, eps));



		cout << "Решение системы:" << endl << endl;
		for (i = 0; i < n; i++) cout << "x" << i << " = " << okr(x[i], eps) << "" << endl;
		cout << "Итераций: " << m << endl;
	}
	else {
		cout << "Не выполняется преобладание диагоналей" << endl;
	}

	system("pause");
	return 0;
}

Пример реализации на Python

import numpy as np

def seidel(A, b, eps):
    n = len(A)
    x = np.zeros(n)  # zero vector

    converge = False
    while not converge:
        x_new = np.copy(x)
        for i in range(n):
            s1 = sum(A[i][j] * x_new[j] for j in range(i))
            s2 = sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i + 1, n))
            x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i][i]

        converge = np.linalg.norm(x_new - x) <= eps
        x = x_new

См. также

• Геометрическая прогрессия
• Метод простой итерации
• Метод Якоби
• Теорема Банаха
• Метод итерации

Примечания

Ссылки

• https://www.maa.org/press/periodicals/loci/joma/iterative-methods-for-solving-iaxi-ibi-gauss-seidel-method
• https://www3.nd.edu/~zxu2/acms40390F12/Lec-7.3.pdf
• http://mathworld.wolfram.com/Gauss-SeidelMethod.html