Матричная оптика

Матричная оптика - математический аппарат расчета оптических систем различной сложности.

Принцип

Пусть известно направление распространения светового луча перед оптической системой. Пусть ${\displaystyle y_{1}}$ — "высота" луча над главной оптической осью системы, ${\displaystyle v_{1}}$ — приведенный угол: ${\displaystyle v_{1}=n\times \alpha }$, где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между направлением распространения луча и главной оптической осью системы, n — показатель преломления среды в данной точке. Тогда соответствующие координаты луча после прохождения оптической системы связаны с исходными матричным уравнением:
${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{2}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}y_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}}$,

где ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$ — матрица оптической системы, также именуемая матрица передачи луча.

Определитель матрицы оптической системы равен отношению показателей преломления на входе и на выходе системы, обычно это отношение равно 1. Матричное преобразование — это приближенное линейное описание системы. Оно работает, в частности, когда выполняется параксиальное приближение.

Матрицы простейших оптических систем

Сферическая преломляющая поверхность

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n_{2}-n_{1}}{R}}}$[1], где ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$ — показатели преломления среды (Подразумевается, что луч переходит из среды с ${\displaystyle n_{1}}$ в среду с ${\displaystyle n_{2}}$), R — алгебраический радиус кривизны сферической поверхности (R > 0 для выпуклой поверхности, когда сонаправлены падающий луч и радиус-вектор в центр кривизны поверхности, и R < 0 для вогнутой поверхности).

Сферическое зеркало

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \Phi _{2}=-{\frac {2\cdot n}{R}}}$, где ${\displaystyle n}$ — показатель преломления среды, R — алгебраический радиус кривизны (см. выше).

Трансляция

Трансляцией называется прямолинейное распространение луча между преломлениями/отражениями,например, между двумя линзами.
${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle T={\frac {d}{n}}}$, d — длина трансляции, n — показатель преломления.

Применение метода

Итоговая матрица оптической системы есть произведение матриц отдельных простейших элементов, причем в порядке, противоположном порядку этих элементов, т. е. ${\displaystyle M=M_{n}\times \cdot \cdot \cdot \times M_{2}\cdot M_{1}}$, где ${\displaystyle M_{i}}$ - матрица i-того оптического элемента, считая от положения падающего на систему луча.
Оптическая сила оптической системы:
${\displaystyle \Phi =-C}$
${\displaystyle B=0,y_{2}=A\cdot y_{1}}$ - общее условие формирования изображения в данной точке. В данном случае A есть увеличение системы.

Расчет оптической силы толстой линзы матричным методом

Пусть линза с радиусами кривизны ${\displaystyle R_{1},R_{2}}$ (для определенности - двояковыпуклая), толщиной d, из материала с показателем преломления n находится в воздухе. Тогда оптическая система состоит из трех простейших элементов - двух преломляющих поверхностей и трансляции внутри линзы. Имеем:

${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}}$
Матрица всей оптической системы:
${\displaystyle M=M_{3}\cdot M_{2}\cdot M_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{2}&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&T\\0&1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\-\Phi _{1}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-T\Phi _{1}&T\\T\Phi _{1}\Phi _{2}-\Phi _{1}-\Phi _{2}&1-T\Phi _{2}\end{bmatrix}}}$
Отсюда оптическая сила толстой линзы:
${\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}-{\frac {d\Phi _{1}\Phi _{2}}{n}}}$
Для тонкой линзы третьим слагаемым можно пренебречь:
${\displaystyle \Phi =-C=\Phi _{1}+\Phi _{2}}$
С учетом ${\displaystyle \Phi _{1}={\frac {n-1}{R_{1}}},\Phi _{2}={\frac {n-1}{R_{2}}}}$
, получаем известную формулу для оптической силы линзы: ${\displaystyle \Phi =(n-1)\cdot \left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$.

Примечания

1. Яковлев В.И. Классическая электродинамика / Рецензент: д.ф.-м.н., проф. А. Г. Погосов. — Новосибирск: Новосибирский Государственный Университет, 2014. — С. 120-140. — 176 с. Архивировано 24 октября 2018 года.

Литература

• Джеррард А., Бёрч Дж. М. Введение в матричную оптику. М. Мир 1978г. 341с.
• Салех Б.Е.А., Тейх М.К. Оптика и фотоника. Принципы и применения. Пер. с англ.: Учебное пособие. В 2 т. Долгопрудный: Интеллект, 2012. — 1544 с. — Раздел 1.4, стр. 50-68.