Мадхава из Сангамаграмы

Эта статья — об астрономе и математике. О кришнаитском святом см. Мадхава Гхош.

Мадхава
малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ хинди संगमग्राम के माधव
Имя при рождении	малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ[2]
Дата рождения	1350[1]
Место рождения	Сангамаграма^[вд], Керала[1]
Дата смерти	1425[1]
Место смерти	Индийский субконтинент[1]
Страна	Индия
Род деятельности	математик, астроном
Научная сфера	астрономия, математика
Известен как	первый получил разложение тригонометрических функций в ряды

Ма́дхава из Сангамаграмы (малаял. സംഗമഗ്രാമ മാധവൻ, хинди संगमग्राम के माधव; 1350 — 1425) — средневековый индийский астроном и математик XIV—XV веков, основатель Керальской школы астрономии и математики. Сангамаграма, где он родился — это, как полагают историки, нынешний город Иринджалакуда^[англ.] в штате Керала, южная Индия.

Мадхава первым стал заниматься разложением тригонометрических функций в ряды; эти исследования продолжили Нилаканта Сомаяджи и другие учёные керальской школы[3][4]. Другие исследования Мадхавы относятся к алгебре, тригонометрии и геометрии.

Научная деятельность

Труды Мадхавы, за исключением двух, не сохранились, так что судить о его влиянии можно по многочисленным ссылкам и цитатам его учеников и последователей. Из-за этого, впрочем, трудно отделить результаты самого Мадхавы от достижений других керальских учёных.

Разложение тригонометрических функций

Приведём основные разложения в современных обозначениях (керальцы излагали их словесно, нередко стихами на санскрите).

№	Ряд	Пояснение	Когда и кем открыт в Европе
1	${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$	Ряд для синуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
2	${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$	Ряд для косинуса	Исаак Ньютон (1670) и Вильгельм Лейбниц (1676)
3	${\displaystyle \operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }$	Ряд для арктангенса	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)
4	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\ldots }$	Ряд для числа ${\displaystyle \pi }$	Джеймс Грегори (1671) и Вильгельм Лейбниц (1676)

Эти ряды часто называют рядами Мадхавы-Лейбница или Мадхавы-Грегори[5]. С помощью указанных рядов Мадхава рассчитал и опубликовал точные таблицы синусов[6]. Ещё один ряд, приведённый в труде Джьештадевы^[англ.] со ссылкой на Мадхаву, позволяет рассчитать значение арктангенса:

${\displaystyle \theta =\operatorname {tg} \theta -{\frac {\operatorname {tg} ^{3}\theta }{3}}+{\frac {\operatorname {tg} ^{5}\theta }{5}}-{\frac {\operatorname {tg} ^{7}\theta }{7}}+\cdots }$

Значение числа π

Расчёт значения числа ${\displaystyle \pi }$ по приведённой выше формуле обнаружен в трактате «Махаджьянаяна», автор которого неизвестен. Часть историков приписывает его Мадхаве, другие — кому-то из его последователей в XVI веке[7]. В трактате приводится также преобразованный ряд, который сходится быстрее:

${\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)}$

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение ${\displaystyle 3{,}14159265359}$, все знаки, исключая последний, верны[8].

Возможно, Мадхаве принадлежит трактат «Садратнамала», где приводится ещё более точное значение: ${\displaystyle \pi =3{,}14159265358979324}$ (верны все знаки, кроме последнего)[9][8]

Математический анализ

Мадхава заложил основы математического анализа, которые получили дальнейшее развитие в Керальской школе астрономии и математики его последователями[10][11]. Мадхава также улучшил некоторые результаты, обнаруженные в более ранних работах, в том числе в работах Бхаскары II[11]. Однако он так и не смог сделать последний шаг и объединить множество различных идей анализа бесконечно малых, не показав связи между производной и интегралом, ему не удалось сформировать основы мощного аналитического инструмента решения задач, который был разработан в Европе в XVII веке[12].

Труды

Как уже говорилось выше, точно неизвестно, какие из дошедших до нас трудов керальских учёных принадлежат Мадхаве. Историк К. В. Сарма приводит следующий список[13][14]:

1. Голавада
2. Мадхьяманаянапракара
3. Махаджьянаянапракара
4. Лагнапракарана (लग्नप्रकरण)
5. Венвароха (वेण्वारोह)[15]
6. Спхутакандрапти (स्फुटचन्द्राप्ति)
7. Аганита-грахакара (अगणित-ग्रहचार)
8. Чандравакьяс (चन्द्रवाक्यानि)

См. также

• Индийская астрономия
• История математики
• История математики в Индии

Литература

• Бахмутская Э. Я. Степенные ряды для sint и cost в работах индийских математиков XV - XVIII вв // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — № 13. — С. 325—334.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. Либроком, 2009, 184 с. (Физико-математическое наследие: математика). ISBN 978-5-397-00474-9.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Стюарт, Иэн. Новатор бесконечности. Мадхава из Сангамаграмы // Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков. — М.: Альпина нон-фикшн, 2019. — 446 с. — ISBN 978-5-91671-946-8.
• Bressoud, David. Was Calculus Invented in India? // The College Mathematics Journal (Math. Assoc. Amer.). — 2002. — Vol. 33, № 1. — P. 2–13.
• Roy, Ranjan. Discovery of the Series Formula for ${\displaystyle \pi }$ by Leibniz, Gregory, and Nilakantha // Mathematics Magazine (Math. Assoc. Amer.). — 1990. — Vol. 63, № 5. — P. 291–306.

Ссылки

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Мадхава из Сангамаграмы (англ.) — биография в архиве MacTutor.
• Agrawal D. P. The Kerala School, European Mathematics and Navigation, 2001. (англ.)
• An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics archive, 2002. (англ.)
• Indians predated Newton 'discovery' by 250 years, phys.org, 2007. (англ.)
• Pearce I. G. Indian Mathematics: Redressing the balance, MacTutor History of Mathematics archive, 2002. (англ.)

Примечания

1. Архив по истории математики Мактьютор — 1994.
2. Record #264627658 // VIAF (мн.) — Даблин: OCLC, 2003.
3. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1973. — Т. XVIII. — С. 104—131.
4. C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari. On an untapped source of medieval Keralese Mathematics (англ.) // Archive for History of Exact Sciences : journal. — 1978. — June (vol. 18). — P. 89—102. — doi:10.1007/BF00348142. Архивировано 29 марта 2020 года.
5. Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
6. MacTutor.
7. T. Hayashi, T. Kusuba and M. Yano. 'The correction of the Madhava series for the circumference of a circle', Centaurus 33 (pages 149—174). 1990.
8. R C Gupta. Madhava's and other medieval Indian values of pi // Math. Education. — 1975. — Т. 9, № 3. — С. B45—B48.
9. Ian G. Pearce (2002). Madhava of Sangamagramma Архивная копия от 30 апреля 2003 на Wayback Machine. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
10. Neither Newton nor Leibniz – The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala  (неопр.). MAT 314. Canisius College. Дата обращения: 9 июля 2006. Архивировано из оригинала 6 августа 2006 года.
11. An overview of Indian mathematics  (неопр.). Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Дата обращения: 7 июля 2006. Архивировано 3 июля 2006 года.
12. Katz, Victor J. (1995-06-01). "Ideas of Calculus in Islam and India". Mathematics Magazine. 68 (3): 163—174. doi:10.1080/0025570X.1995.11996307. ISSN 0025-570X.
13. Sarma, K. V. Contributions to the study of Kerala school of Hindu astronomy and mathematics (англ.). — Hoshiarpur: V V R I, 1977.
14. David Edwin Pingree. Census of the exact sciences in Sanskrit (англ.). — Philadelphia: American Philosophical Society, 1981. — Vol. 4. — P. 414—415. — (A).
15. K Chandra Hari. Computation of the true moon by Madhva of Sangamagrama (англ.) // Indian Journal of History of Science : journal. — 2003. — Vol. 38, no. 3. — P. 231—253. Архивировано 5 мая 2014 года.