Лемма Синга

Лемма Синга — ключевое утверждение о стабильности замкнутых геодезических в римановых многообразиях с положительной секционной кривизной.

Лемма является прямым следствием формулы для второй вариации длин однопараметрического семейства кривых. Она использовалась Джоном Сингом.[1]

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \gamma \colon [0;1]\to M}$ есть геодезическая в римановом многообразии ${\displaystyle M}$ с положительной секционной кривизной и ${\displaystyle V}$ параллельное поле касательных векторов на ${\displaystyle \gamma }$. Тогда вариация ${\displaystyle \gamma }$ в направлении ${\displaystyle V}$ сокращает её длину.

Более точно, если

${\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\exp _{\gamma (t)}(\tau \cdot V(t))}$

и ${\displaystyle L(\tau )}$ обозначает длину кривой ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ тогда ${\displaystyle L'(0)=0}$ и ${\displaystyle L''(0)<0}$.

Следствия

• Eсли замкнутая геодезическая допускающая параллельное векторное поле не является стабильной, то есть её длина может быть уменьшена произвольно малой деформацией. В частности,
  • Чётномерные ориентированные римановы многообразия с положительной секционной кривизной односвязны.
  • Нечётномерные римановы многообразия с положительной секционной кривизной ориентированны.
• Лемма Синга использовалась также Теодором Франкелем^[англ.][2] для доказательства того, что если ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ являются замкнутыми геодезическими подмногобразиями в римановом многообразии ${\displaystyle M}$ с положительной секционной кривизной и ${\displaystyle \dim V+\dim W\geq \dim M}$ то ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ пересекаются.

Примечания

1. Synge, John Lighton (1936), "On the connectivity of spaces of positive curvature", Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series), 7: 316–320, doi:10.1093/qmath/os-7.1.316
2. Frankel, Theodore. Manifolds with positive curvature (англ.) // Pacific J. Math.. — 1961. — Vol. 11. — P. 165–174. Архивировано 18 августа 2020 года.