Лемма Накаямы

Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Названа именем Тадаси Накаямы.

Формулировки

Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, I — идеал в R, а M — конечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m.

Доказательство леммы. Пусть ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{n}}$ — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде

${\displaystyle m_{i}=a_{i1}m_{1}+a_{i2}m_{2}+\dots +a_{in}m_{n}}$, где ${\displaystyle a_{ij}}$ — элементы идеала I. То есть ${\displaystyle \sum \limits _{j}(\delta _{ij}-a_{ij})m_{j}=0}$ (где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ - символ Кронекера) .

Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j

${\displaystyle \operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})\cdot m_{j}=0}$.

Так как ${\displaystyle \operatorname {det} (\delta _{ij}-a_{ij})}$ представим в виде 1 − a, a из I, лемма доказана.

Следующее следствие из доказанного утверждения также известно как лемма Накаямы:

Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1 − a обратим (например, это так, если I содержится в радикале Джекобсона), необходимо должно быть M = 0.

Доказательство. Существует элемент a идеала I, такой что aM = M, следовательно, (1 − a)M = 0, домножая слева на элемент, обратный к 1 − a, получаем, что M = 0.

Применение к модулям над локальными кольцами

Пусть R — локальное кольцо, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — максимальный идеал в R, M — конечнопорождённый R-модуль, и ${\displaystyle \phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M}$ — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$, которое есть конечномерное векторное пространство над полем ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$. Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:

Элементы ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{n}\in M}$ порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы ${\displaystyle \phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})}$ порождают фактормодуль ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$.

Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{n}}$, Q = M/S — фактормодуль и ${\displaystyle \pi :M\to Q}$ — гомоморфизм факторизации. Так как ${\displaystyle \phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})}$ порождают фактормодуль ${\displaystyle M/{\mathfrak {m}}M}$, это означает, что для всякого ${\displaystyle m\in M}$ существует ${\displaystyle s\in S}$, такой что ${\displaystyle m-s\in {\mathfrak {m}}M}$. Тогда ${\displaystyle \pi (m)=\pi (m-s)\in {\mathfrak {m}}Q}$. Поскольку ${\displaystyle \pi }$ сюръективно, это означает, что ${\displaystyle Q={\mathfrak {m}}Q}$. По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.

Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:

Пусть ${\displaystyle \phi :\,M\to N}$ — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей ${\displaystyle \phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N}$. Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно.

На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема:

Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен.

Литература

• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. также

• Тадаси Накаяма