Родился в семье крупного чиновника, главного инспектора почт и телеграфов России Сергея Александровича Кошлякова. Ещё в гимназии проявил склонность к занятиям математикой и самостоятельно овладел дифференциальным и интегральным исчислениями.
В 1914 году окончил физико-математический факультет Петербургского университета, во время учёбы в университете заинтересовался вопросами аналитической теории чисел и в связи с этим трудами Г. Ф. Вороного, что оказало значительное влияние на всю его дальнейшую научную деятельность.
В 1933—1936 годах работал в Математическом отделе Физико-математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, затем МИ АН СССР. Избран в АН СССР по Отделению математических и естественных наук (математика) 1 февраля 1933. Был исключён из Академии в связи с арестом, восстановлен в звании члена-корреспондента Указом Президиума АН 13 ноября 1953 № 68.
Арестован в блокадном Ленинграде в конце 1941 года по делу «Союза старой русской интеллигенции» (обвиняемыми по этому делу проходили также математик А. М. Журавский[3], профессор Н. В. Розе, член-корреспондент В. С. Игнатовский) 13 января 1942 года военным трибуналом Ленинградского фронта приговорён к расстрелу, заменённому Президиумом Верховного Совета СССР на 10 лет заключения. Находился в лагере, но по состоянию здоровья был освобождён от общих работ (на лесоповале). Сын Н. С. Кошлякова сумел передать ему вместе с личными вещами оттиски ранее опубликованных им работ, а также второй том «Курса современного анализа» Уиттекера и Ватсона, что позволило ему заниматься математическими исследованиями, находясь в заключении. Писал выкладки на листе фанеры, периодически соскрёбывая написанное куском стекла[4]. Выполненная им работа «Исследование одного класса трансцендентных функций, определяемых обобщённым уравнением Римана» поступила без указания имени автора на отзыв в Математический институт АН СССР, и была издана в 1949 году в виде монографии под псевдонимом Н. С. Сергеев[5]. Одна его работа, считавшаяся им очень важной, пропала при пересылке, и впоследствии сам Н. С. не смог восстановить «содержавшихся в ней тонких рассуждений».
Опубликованная работа получила высокую оценку со стороны И. М. Виноградова, С. Н. Бернштейна и Ю. В. Линника, что способствовало изменению условий жизни Н. С. Кошлякова. В конце 1944 года он был переведён в Москву, где стал работать в теоретическом отделе конструкторского бюро СБ-1 (ныне — ОАО «НПО „Алмаз“ им. А. А. Расплетина») по оборонной тематике. Освобождён от заключения на полгода раньше срока в 1951 году с последующей полной реабилитацией. В 1951—1955 годах продолжал работать в там же в должности начальника лаборатории, а после выхода на пенсию оставался научным консультантом и членом Учёного совета предприятия.
Члены Российской академии наук в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. К 75-летнему юбилею МИАН. Биографический словарь-справочник / под общ. ред. В. В. Козлова; авт.-сост. Э. П. Зимин, С. В. Кисляков, Г. С. Монахтина, В. П. Павлов. М.: Янус-К, 2009.