Координаты Леметра

Общая теория относительности
Введение^[англ.] · История^[англ.] Математическая формулировка Предсказания
Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманово многообразие
Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационная волна · Увлечение инерциальных систем отсчёта Расхождение геодезических Горизонт событий Гравитационная сингулярность Чёрная дыра · Белая дыра Космологическая сингулярность Гравитомагнетизм
Уравнения Уравнения Эйнштейна · Космологическая постоянная · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм
Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории
Решения Точные решения: Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность
Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity
Связанные темы Гравитация · Золотой век ОТО
См. также: Портал:Физика

Координа́ты Леме́тра — координаты в пространстве-времени Шварцшильда, впервые полученные Жоржем Леметром в 1933 году[1][2][3][4] при помощи преобразования координат. В этих координатах была впервые устранена координатная сингулярность на гравитационном радиусе.

Метрика Леметра

Метрика Шварцшильда в системе ${\displaystyle c=G=1}$ дана выражением:

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),}$

где ${\displaystyle ds^{2}}$ — интервал;

• ${\displaystyle r_{g}=2M}$ — гравитационный радиус;
• ${\displaystyle M}$ — масса центрального тела;
• ${\displaystyle t,\;r,\;\theta ,\;\varphi }$ — координаты Шварцшильда, асимптотически превращающиеся в плоские сферические координаты;
• ${\displaystyle c}$ — скорость света;
• ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная.

В метрике Шварцшильда присутствует сингулярность на гравитационном радиусе при ${\displaystyle r=r_{g}}$.

Жорж Леметр первым указал, что эта сингулярность не является физической, а является следствием того, что стационарные координаты Шварцшильда невозможно реализовать с помощью физических тел под гравитационным радиусом. Действительно, под гравитационным радиусом все тела, включая лучи света, падают по направлению к центру и никакими силами невозможно удержать физическое тело на постоянном радиусе.

Преобразование от координат Шварцшильда ${\displaystyle \{t,\;r\}}$ к новым координатам Леметра ${\displaystyle \{\tau ,\;\rho \}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}d\tau =dt+{\sqrt {\dfrac {r_{g}}{r}}}{\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}\,dr;\\d\rho =dt+{\sqrt {\dfrac {r}{r_{g}}}}{\dfrac {1}{1-{\dfrac {r_{g}}{r}}}}\,dr\end{cases}}}$

приводит к метрике Леметра:

${\displaystyle ds^{2}=d\tau ^{2}-{\frac {r_{g}}{r}}\,d\rho ^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}),}$

где

${\displaystyle r=\left[{\frac {3}{2}}(\rho -\tau )\right]^{2/3}r_{g}^{1/3}.}$

В координатах Леметра сингулярность на гравитационном радиусе, где ${\displaystyle {\frac {3}{2}}(\rho -\tau )=r_{g}}$, отсутствует. Истинная же сингулярность в центре, ${\displaystyle \rho -\tau =0}$, сохраняется.

Метрика Леметра является синхронной — тела, неподвижные в координатах Леметра, находятся в состоянии свободного падения в гравитационном поле центрального тела. Вертикально падающие тела достигают гравитационного радиуса и центра за конечное собственное время.

Вдоль траектории луча света

${\displaystyle dr=\left(\pm 1-{\sqrt {\frac {r_{g}}{r}}}\right)\,d\tau ,}$

поэтому никакой сигнал не может выйти за пределы гравитационного радиуса, где всегда ${\displaystyle dr<0}$, и лучи света, испущенные вертикально вверх и вниз, оба оказываются в центре.

Примечания

1. G. Lemaitre. L'Univers en expansion // Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. — 1933. — Т. A53. — С. 51—85. — Bibcode: 1933ASSB...53...51L.
2. Lemaître, Abbe Georges. The Expanding Universe ({English}) // General Relativity and Gravitation. — Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers, 1997. — Т. 29. — С. 641—680. — doi:10.1023/A:1018855621348.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — («Теоретическая физика», том II).
4. Gsponer A. More on the early interpretation of the Schwarzschild solution Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine.