Когомологии Дольбо

Когомологии Дольбо — аналог когомологий де Рама для комплексных многообразий. Названны в честь Пьера Дольбо.

Пусть M — комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$зависят от пары целых чисел p и q и строятся из комплексных дифференциальных форм степени (p, q).

Построение групп когомологий

Пусть Ω^p, q — векторное расслоение комплексных дифференциальных форм степени (p,q) и

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q})\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1})}$

— оператор Дольбо. Напомним, что

${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Этот оператор можно использовать для определения когомологий. В частности, определите когомологии как фактор-пространство

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )=\ker \left({\bar {\partial }}:\Gamma (\Omega ^{p,q},M)\to \Gamma (\Omega ^{p,q+1},M)\right)/{\bar {\partial }}\Gamma (\Omega ^{p,q-1}).}$

Теорема Дольбо

Теорема Дольбо является комплексным аналогом теоремы де Рама. Она утвержадет, что когомологии Дольбо изоморфны когомологиям пучка пучка голоморфных дифференциальных форм. То есть

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

где ${\displaystyle \Omega ^{p}}$пучок голоморфных p-форм на M.

Литература

• Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ.. — М.: Мир, 1982.
• Dolbeault, Pierre (1953). "Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 236: 175–277.