Искривлённое произведение

Искривлённое произведение римановых, а также псевдоримановых многообразий — обобщение прямого произведения. 

Определение

Пусть ${\displaystyle B=(B,g)}$ и ${\displaystyle F=(F,h)}$ — два псевдоримановых многообразия и ${\displaystyle f\colon B\to \mathbb {R} }$ гладкая положительная функция. Тогда произведение ${\displaystyle B\times F}$ с метрикой ${\displaystyle g\oplus (f^{2}\cdot h)}$ называется искривлённым произведением ${\displaystyle B=(B,g)}$ и ${\displaystyle F=(F,h)}$ по функции ${\displaystyle f}$. Точнее, касательное пространство ${\displaystyle \mathrm {T} _{(b,x)}(B\times F)}$ можно идентифицировать с произведением касательных пространств ${\displaystyle \mathrm {T} _{b}B\times \mathrm {T} _{x}F}$ и значит на нём можно рассмотреть прямую сумму квадратичных форм ${\displaystyle g\oplus (f^{2}\cdot h)}$, она и определяется как метрический тензор в точке${\displaystyle (b,x)}$.

Искривлённое произведение ${\displaystyle (B\times F,g\oplus (f^{2}\cdot h))}$ обычно обозначается ${\displaystyle F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$.

Функция ${\displaystyle f}$ также называется функцией искривления. Пространство ${\displaystyle B=(B,g)}$ называется базой, а пространство ${\displaystyle F=(F,h)}$ — слоем искривлённого произведения ${\displaystyle F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$.

Свойства

• Каждый слой ${\displaystyle b\times F\subset B\times F}$ в ${\displaystyle F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$ изометричен ${\displaystyle f(b)\cdot F=(F,f^{2}(b)\cdot h)}$.
• Каждый уровень ${\displaystyle B\times x\subset B\times F}$ глобально изометричен базе ${\displaystyle B=(B,g)}$.
• Расстояния между точками ${\displaystyle (b_{1},x_{1}),(b_{2},x_{2})\in F{\mathrel {{\times }_{f}}}B}$ полностью определяются по базе ${\displaystyle B=(B,g)}$, двум точкам ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in B}$, функцией ${\displaystyle f\colon B\to \mathbb {R} }$ и расстоянием между ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ в слое ${\displaystyle F}$.

Примеры

• Искривлённое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} {\mathrel {{\times }_{\exp }}}\mathbb {R} }$ изометрично плоскости Лобачевского.
• Поверхность вращения всегда изометрична искривлённому произведению ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}{\mathrel {{\times }_{f}}}\mathbb {I} }$ для некоторой функции искривления и вещественного интервала ${\displaystyle \mathbb {I} }$.
• Многие решения уравнения Эйнштейна, можно представить как искривлённые произведения, например,
  • Метрика Шварцшильда,
  • Вселенная Фридмана.

Вариации и обобщения

• Искривлённое произведение естественным образом обобщается на произведения метрических пространств с внутренней метрикой.[1]

Примечания

1. S. B. Alexander, R. L. Bishop. Curvature bounds for warped products of metric spaces // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2004. — Т. 14, № 6. — С. 1143—1181.

Ссылки