В 1930 году семья попала под раскулачивание и была выслана на спецпоселение в Тюменскую область. Жил в посёлке Шуга Надымского района Ямало-Ненецкого округа, окончил 7 классов.
В год начала войны Анатолию было только 16 лет и на фронт его не взяли.
В 1942 году окончил педагогическое училище в г. Салехард, работал учителем в семилетней школе посёлка Катравож Приуральского района.
В Красной Армии с декабря 1943 года, с того же времени — на фронте. Младший сержант А. Зверев отличился в боях при освобождении Белоруссии.
26 июня 1944 года младший сержант А. Зверев в числе первых форсировал р. Западную Двину в районе деревни Ерошево (Шумилинский район, Витебская область). Скрытно подобравшись к траншее врага, закидал её гранатами, уничтожив 10 немецких солдат, чем способствовал переправе штурмовых отрядов полка. В этом бою погиб.
Мемориальный комплекс в Узречье, где похоронен А. М. Зверев
Звание Героя Советского Союза младшему сержанту Звереву Анатолию Михайловичу присвоено посмертно указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года посмертно.
В школьном музее школы № 2 г. Надым (Музей Боевой Славы им. Героя Советского Союза Зверева А. М.) установлены 14 постоянно действующих стендов о жизни и подвиге А. М. Зверева, его семье, однополчанах. Имеются подлинные вещи из семейного архива Зверевых, фотографии, письма, личный дневник Героя, фронтовые газеты, военные карты, обмундирование, снаряжение. Всего более полутора тысяч экспонатов.
Именем героя назван Салехардский педагогический колледж, некогда выпустивший из своих стен молодого учителя.
