Закон контрапозиции

См. также: Modus tollens

Зако́н контрапози́ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»). Суть его заключается в простом умозаключении: если из истинности некоторого утверждения следует истинность другого, то в случае ложности второго утверждения первое никак не может быть истинным, поскольку иначе было бы истинным и второе.

В математической логике

В виде формулы исчисления высказываний закон контрапозиции имеет несколько видов:

• ${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A)}$ — полный закон контрапозиции;
• ${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$ — прямой закон контрапозиции;[1]
• ${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$ — обратный закон контрапозиции.[2]

${\displaystyle A,B}$ здесь произвольные формулы. Все 3 формулы являются тавтологиями в классической логике высказываний.

Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода. Повторное применение этого преобразования приводит к правилу вывода под названием modus tollens:

• ${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A);}$
• ${\displaystyle A\to B\vDash \neg B\to \neg A;}$
• ${\displaystyle (A\to B),\neg B\vDash \neg A.}$

В интуиционистском исчислении высказываний прямой закон контрапозиции доказуем[3], а обратный нет[4]. Добавление обратного закона контрапозиции к интуиционистскому исчислению высказываний превращает его в классическое.[5]

Литература

• Чёрч, А. Введение в математическую логику = Introduction to Mathematical Logic (рус.) / пер. с англ. В. С. Чернявского, под ред. В. А. Успенского. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — Т. 1. — 485 с.
• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — МЦНМО, 2002.
• Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — М.: Наука, Физматлит, 1987.
• Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. — Academia, 2008.
• Клини С.К. Математическая логика. — М.:Мир, 1973.
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М. Наука, 1971.
• Новиков П.С. Элементы математической логики. — М.:Наука, 1973.

См. также

• Дедуктивное умозаключение
• Исчисление высказываний

Примечания

1. Чёрч, 1960, с. 114.
2. Чёрч, 1960, с. 113.
3. Чёрч, 1960, с. 141.
4. Чёрч, 1960, с. 140.
5. Чёрч, 1960, с. 135.