Задача о сделках

Задача о сделках (также задача о переговорах, задача торга) — игра двух лиц, в которой моделируется ситуация двусторонних переговоров. В ней участвуют два игрока, принимающие решение о распределении некоторого блага (часто в денежной форме). Если игроки договариваются о распределении, они получают требуемую часть. В противном случае никто ничего не получает.

Игра была впервые предложена в 1950 г. Дж. Ф. Нэшем в работе The Bargaining Problem. Там же был сформулирован один из подходов к решению этой задачи, получивший впоследствии название «решения Нэша».

Формально задача о сделках может быть записана в виде четверки ${\displaystyle \{X,d,u_{1},u_{2}\}}$, где X — множество альтернатив, из которых выбирают участники; ${\displaystyle u_{i}}$ — функция полезности i-го участника, определенная на множестве X; ${\displaystyle d\in X}$ — точка разногласия (исход, который получат участники, если переговоры не дадут результата).

Решение Нэша

Решение Нэша задачи о сделках (в литературе часто используется аббревиатура NBS, от англ. Nash bargaining solution — решение Нэша для переговоров) представляет собой аксиоматический принцип оптимальности, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1. Инвариантность к аффинным преобразованиям функций полезности участников;
2. Эффективность по Парето;
3. Независимость от посторонних альтернатив: если из множества X убрать заведомо неоптимальные альтернативы, то решение задачи не изменится;
4. Симметричность: если игроки одинаковы, то есть ${\displaystyle u_{1}(.)=u_{2}(.)}$, при разногласии получают одинаковую полезность ${\displaystyle u_{1}(d)=u_{2}(d)}$ и множество Х — симметрично, то есть для любой альтернативы ${\displaystyle x'\in X}$ найдется альтернатива ${\displaystyle x''\in X}$, такая, что ${\displaystyle u_{1}(x')=u_{2}(x''),u_{1}(x'')=u_{2}(x')}$, то ${\displaystyle u_{1}(x)=u_{2}(x)}$.

Теорема. Решением задачи о переговорах ${\displaystyle \{X,d,u_{1},u_{2}\}}$, удовлетворяющим аксиомам (1) — (4) является точка максимума на множестве X функции

${\displaystyle \Phi (x)=(u_{1}(x)-u_{1}(d))(u_{2}(x)-u_{2}(d))}$.

Литература

• Nash J. The Bargaining Problem // Econometrica. — 1950. — Vol. 18. — P. 155—162.
• Binmore K., Rubinstein A., Wolinsky A. The Nash Bargaining Solution in Economic Modelling // RAND Journal of Economics. — 1986. — Vol. 17. — P. 176—188.
• Оуэн Г. Теория игр. — М.: УРСС, 2004.