Задача Бюффона о бросании иглы

Задача Бюффона о бросании иглы — один из первых примеров применения метода Монте-Карло и рассмотрения понятия геометрической вероятности^[англ.]. Задача была сформулирована Бюффоном в 1777 году. Оказалось, что эта задача сделала возможным определение числа π вероятностными методами.

Суть задачи

Суть метода была в бросании иглы длиной ${\displaystyle L}$ на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии ${\displaystyle r}$ друг от друга (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Метод Бюффона

Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о вероятности, а о математическом ожидании количества пересечений за один опыт; вероятностью это становится лишь при условии, что ${\displaystyle r>L}$) того, что отрезок пересечет прямую, связана с числом Пи:

${\displaystyle p=\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{l\sin {\theta }}{\frac {1}{r\pi }}dAd\theta }$, где

• ${\displaystyle A}$ — расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой;
• ${\displaystyle \theta }$ — угол иглы относительно прямых.

При условии, что ${\displaystyle r>L}$ получается решение: ${\displaystyle p={\frac {2L}{r\pi \,}}}$. Таким образом, подсчитав долю отрезков, пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то занять себя, реализовал эксперимент по бросанию иглы[1]. Результаты представлены в следующей таблице:[2]

	Число бросаний	Число пересечений	Длина иглы	Расстояние между прямыми	Вращение	Значение Пи	Ошибка
Первая попытка	500	236	3	4	отсутствует	3.1780	−0.03640734
Вторая попытка	530	253	3	4	присутствует	3.1423	−0.00070734
Третья попытка	590	939	5	2	присутствует	3.1416	+0.00000734

Комментарии:

• Вращение плоскости применялось[2] (и как показывают результаты — успешно) для того, чтобы уменьшить систематическую ошибку.
• В третьей попытке длина иглы была больше расстояния между линиями, что позволило не увеличивая числа бросаний эффективно увеличить число событий и повысить точность.

Вариации и обобщения

• Задача о макаронине Бюффона — вариант задачи для кривых.[3]

• Формула Крофтона

Примечания

1. Math Surprises: An Example Архивная копия от 30 января 2012 на Wayback Machine (англ.)
2. A.Hall. On an experimental determination of Pi : [арх. 7 марта 2016] // The Messenger of Mathematics. — 1872. — Vol. 2. — P. 113-114.
3. Ramaley, J. F. (1969). "Buffon's Noodle Problem" (PDF). The American Mathematical Monthly. 76 (8, October 1969). Mathematical Association of America: 916—918. doi:10.2307/2317945. ISSN 0002-9890. JSTOR 2317945. Архивировано из оригинала (PDF) 14 января 2020. Дата обращения: 23 ноября 2020.

Литература

• Федотов Н. Г. Методы стохастической геометрии в распознавании образов. — М.: Радио и связь, 1990. — 142 с.