Дилль-Бунди впервые привлёк международное внимание в 1975 году, когда он стал чемпионом мира среди юниоров в одиночной гонке преследования на чемпионате мира среди юниоров UCI, проходившем в Лозанне.
На Олимпийских играх в Москве стал одним из двух швейцарцев, выигравших медаль (вторую завоевал в дзюдо Юрг Рётлисбергер). Дилль-Бунди стал первым в истории Швейцарии олимпийским чемпионом по велоспорту.
Роберт Дилль-Бунди изображён на почтовой маркеКНДР номиналом 20 чон из серии, посвящённой победителям Олимпиады-80, выпущенной 20 октября 1980 года[2][3].