Родился в дворянской семье (его прадедом был глава Московской евангелическо-лютеранской консистории Иоганн Самуэль Губер, приехавший в Россию в 1807 году). Старший брат писателя Бориса Губера.
Окончил Московский институт востоковедения (1925), до 1927 года работал в ЦСУГосплана СССР. В 1931 году опубликовал монографию «Индонезия. Социально-экономические очерки», первый в СССР научный труд об Индонезии, в котором освещались вопросы истории, экономики и культуры этой страны. Наряду с государствами Юго-Восточной Азии исследовал страны Латинской Америки. Профессор (1935). В 1943 году защитил докторскую диссертацию «Филиппинская Республика и американский империализм. 1896—1898». Автор свыше 200 научных работ.
В 2024 году, усилиями студентов и сотрудников кафедры, которой когда-то руководил академик Губер, IV Молодёжные Губеровские чтения стали самыми масштабными за всю историю проведения конференции как по количеству российских участников, так и по количеству иностранных спикеров, тем самым обретая статус международного научно-практического мероприятия.
S.J. Rutgers en A.A. Huber. Indoneisie. Deel I. Amsterdam. 1937.166 blz;
Хосе Ризаль, М., 1937 (совм. с О. К. Рыковской);
Индонезия и Индокитай. М., 1942;
«Германский империализм на Дальнем Востоке» (1942)
Национально-освободительное движение в Индонезии. Стенограмма публичной лекции. М.: Правда, 1946;
Кризис колониальной системы после второй мировой войны. Стенограмма публичной лекции. М.: Правда, 1947;
Война в Индонезии. Стенограмма публичной лекции. М.: Правда, 1947;
«Новая история стран зарубежного Востока» (1961, редактор).
Филиппинская республика 1898 г. и американский империализм, 2-е изд., М., 1961;
Губер А. А. Предисл. Политика капиталистических держав и национально-освободительное движение в Юго-Восточной Азии (1871—1917) // Документы и материалы. Ч.1. — 1965. — С. 5-15;
«Мужество Вьетнама» (1968)
Губер А. А. Основные особенности национально-освободительного движения в Индонезии до Второй мировой войны (вместо введения) // Национально-освободительное движение в Индонезии (1942—1965). — 1970. — С. 5-34;
Губер А. А. Ред.: Работы советских историков за 1965—1969 гг Наука. 272 с. (XIII Международный конгресс исторических наук. Москва, 1970 г.);
Имя А. А. Губера носит сухогруз Азовского морского судоходства («Академик Губер»)
В ИСАА с 1971 года имеется Мемориальный кабинет-библиотека имени А. А. Губера, и с 1972 года (официальный статус c 2009) ежегодно проводятся «Губеровские чтения», первым организатором которых была Е. И. Гневушева.
Александр Андреевич Губер: (1902—1971) // Портреты историков. Время и судьбы. Т. 4: Новая и новейшая история / отв. ред. Г. Н. Севостьянов. — М.: Наука, 2004.