Родился 31 октября1762 года а городе Вармбрунн, ныне Цеплице-Слёнске-Здруй в Польше. Был сыном Иоганна Христиана фон Горна (1722—1797) и его жены Марии Розины, урождённой Беккер (1724—1794).
C ноября 1774 года Генрих обучался в берлинскомкадетском корпусе и 25 марта 1778 года был выпущен из него в пехотный полк von Luck (Nr. 53) с чином ефрейтор-капрал. Принимал участие в войне за баварское наследство и 10 августа 1782 года получил звание лейтенанта. C 12 мая 1790 года Горн служил адъютантом генерала Франца Андреаса фон Фаврата (нем.Franz Andreas von Favrat). Во время похода в Польшу участвовал в битве при Равке и осаде Варшавы, за что был удостоен 6 июня 1794 года ордена Pour le Mérite.
В Магдебурге в 1814 году стал членом масонской ложиFerdinand zur Glückseligkeit. С 3 октября 1815 года Генрих Горн был комендантом Магдебурга; с 23 января 1815 года — инспектором ополчения в своём административном округе. 30 марта 1817 года получил звание генерал-лейтенанта. В 1820 году стал командиром армейского корпуса VII. Armee-Korps.
Первый раз женился в 1790 году на Вильгельмине фон Холведе (нем.Wilhelmine von Holwede, ум. 1792) — дочери генерал-лейтенанта Кристиана Фридриха Карла фон Холведе (нем.Friedrich Christian Karl von Holwede, 1725—1797). У них родилась дочь Вильгельмина Каролина Августа (1792—1816).
Во второй раз женился 13 марта 1796 года на Регине Марии Элизабет Вильгельмине фон Раабе (нем.Regine Marie Elisabeth Wilhelmine von Raabe, 1768—1800). От этого брака у него был сын Генрих Рудольф Фердинанд Август Александр (1798—1863).
В третьем браке, состоявшемся 13 сентября 1802 года в Гданьске, был женат на Генриетте Констанции Сидони фон Бланкенштейн (нем.Henriette Konstantia Sidonie von Blankenstein, 1781—1846). У них было двое дочерей: Адольфина Генриетта Амапа Людовика (род. 1803) и Альбертина Генриетта Жозефина Марианна (1808—1818).