Вторичное квантование

Втори́чное квантова́ние (каноническое квантование)[1] — метод описания многочастичных квантовомеханических систем. Наиболее часто этот метод применяется для задач квантовой теории поля и в многочастичных задачах физики конденсированных сред.

Описание

Предположим, что существует классификация всех возможных состояний каждой частицы или квазичастицы в рассматриваемой системе. Обозначим состояния частицы как ${\displaystyle 1,2,3,...}$. Тогда любое возможное состояние системы описывается набором чисел частиц (чисел заполнения) в каждом из этих состояний ${\displaystyle (N_{1},N_{2},N_{3},...)}$. Суть метода вторичного квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или в импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел заполнения различных состояний одной частицы. Достоинство метода вторичного квантования в том, что он позволяет единообразно описывать системы с различным числом частиц, как с конечным фиксированным (в задачах физики конденсированных сред), так и с переменным, потенциально бесконечным (в задачах КТП). Переходы между различными состояниями (например, из состояния ${\displaystyle k}$ в состояние ${\displaystyle q}$) одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего одной волновой функции на единицу ${\displaystyle (N_{k}\Rightarrow N_{k}-1)}$, и увеличение числа заполнения другого состояния на единицу ${\displaystyle (N_{q}\Rightarrow N_{q}+1)}$. Вероятности этих процессов зависят не только от элементарной вероятности перехода, но и от чисел заполнения, участвующих в процессе состояний.

Статистика Бозе — Эйнштейна

Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна, вероятность перехода из состояния ${\displaystyle k}$ в состояние ${\displaystyle q}$ есть ${\displaystyle W(k,q)=w(k,q)N_{k}(N_{q}+1)}$, где ${\displaystyle w(k,q)}$ — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики. Операторы, изменяющие числа заполнения состояний на единицу, работают так же как операторы рождения и уничтожения в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:

${\displaystyle [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }]=\delta _{ij},\ [{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}]=0,}$

где квадратные скобки означают коммутатор, а ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:[2]

${\displaystyle \left\langle N_{i}|a_{i}^{\dagger }|N_{i}-1\right\rangle =\left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ^{*}={\sqrt {N_{i}}}}$.

Оператор рождения ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ так называется потому, что он увеличивает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}+1}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}+1,...)}$

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

${\displaystyle \left\langle N_{i}-1|a_{i}|N_{i}\right\rangle ={\sqrt {N_{i}}}}$.

Оператор уничтожения ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i},...)={\sqrt {N_{i}}}\Phi (N_{1},N_{2},...,N_{i}-1,...)}$

Статистика Ферми-Дирака

Для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, вероятность перехода из состояния ${\displaystyle k}$ в состояние ${\displaystyle q}$ есть ${\displaystyle W(k,q)=w(k,q)N_{k}(1-N_{q})}$, где ${\displaystyle w(k,q)}$ — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики, а ${\displaystyle N_{k},N_{q}}$ могут принимать значения только ${\displaystyle 0,1}$. Для фермионов используются другие операторы, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

${\displaystyle \left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}^{\dagger }\right\}={\hat {a}}_{i}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }+{\hat {a}}_{j}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}=\delta _{ij},\ \left\{{\hat {a}}_{i},{\hat {a}}_{j}\right\}=0.}$

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:[3]

${\displaystyle \left\langle 1_{i}|a_{i}^{\dagger }|0_{i}\right\rangle =\left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle ^{*}=(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k}}}$.

Оператор рождения ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }}$ так называется потому, что он увеличивает c 0 до 1 число частиц в i-м состоянии:

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}^{\dagger }\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)=\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)}$

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

${\displaystyle \left\langle 0_{i}|a_{i}|1_{i}\right\rangle =(-1)^{\sum _{k=1}^{i-1}N_{k}}}$.

Оператор уничтожения ${\displaystyle {\hat {a}}_{i}}$ так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

${\displaystyle {\hat {a}}_{i}\Phi (N_{1},N_{2},...,1_{i},...)=\Phi (N_{1},N_{2},...,0_{i},...)}$

Применения

Задачи по переходам квантовых частиц с различных состояний, физика лазеров, теория комбинационного рассеяния света, физика твердого тела, теория турбулентности жидкости, газа, плазмы[4].

См. также

• Нерешённые проблемы современной физики
• Алгебра Грассмана
• Операторы рождения и уничтожения

Примечания

1. Термин «вторичное квантование» в англоязычной литературе считается устаревшим и в последнее время заменяется термином «каноническое квантование». Термин «каноническое» подчёркивает важное соответствие между квантовыми операторами и коммутаторами квантовой механики, и каноническими координатой и импульсом и скобкой Пуассона классической механики.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. - М., Наука, 1972. - с. 167-168
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. - М., Наука, 1972. - с. 172
4. А. С. Кингсеп, Вторичное квантование, СОЖ, том 7, № 5, 2001

Литература

• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1986. — 320 с.
• Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984. — 384 с.
• Нгуен Ван Хьеу. Основы метода вторичного квантования. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
• Ю. А. Неретин. «Метод вторичного квантования» Березина. Взгляд 40 лет спустя.