Вронскиан

Вронскиа́н, или определитель Вронского, — функция ${\displaystyle W(f_{1},\dots f_{n})(x)}$, определённая для системы функций ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots f_{n}(x)}$ на промежутке ${\displaystyle I}$, дифференцируемых ${\displaystyle (n-1)}$-раз. Задаётся как определитель следующей матрицы:

${\displaystyle W(f_{1},\dots f_{n})(x)=\det {\begin{pmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f'_{1}(x)&f'_{2}(x)&\cdots &f'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}};\qquad x\in I,}$.

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$ с n компонентами: ${\displaystyle f_{i}=(f_{i}^{1},\ldots ,f_{i}^{n})}$. Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его ${\displaystyle W_{2}}$):

${\displaystyle W_{2}(f_{1},\dots f_{n})(x)=\det {\begin{pmatrix}f_{1}^{1}(x)&f_{2}^{1}(x)&\cdots &f_{n}^{1}(x)\\f_{1}^{2}(x)&f_{2}^{2}(x)&\cdots &f_{n}^{2}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{n}(x)&f_{2}^{n}(x)&\cdots &f_{n}^{n}(x)\end{pmatrix}};\qquad x\in I,}$.

Назван в честь польского математика Юзефа Вронского. Термин «вронскиан» предложил шотландский математик Томас Мьюр в своей монографии 1882 года об определителях[1].

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.

Свойства

• Если ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$ — линейно зависимы на ${\displaystyle I}$, то ${\displaystyle \forall x\in I\quad W(x)=0}$.

• Если определитель Вронского на интервале не равен нулю хотя бы в одной точке, то функции ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$ являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).

• Если ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$ — решения линейного однородного дифференциального уравнения ${\displaystyle n}$-го порядка, то ${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$ линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке ${\displaystyle I}$, что означает линейную независимость функций ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$.

• ${\displaystyle W'(x)=W_{1}(x)+W_{2}(x)+\cdots +W_{n}(x)}$, где ${\displaystyle W_{i}}$ — определитель Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:

${\displaystyle W_{i}(x)=\det {\begin{pmatrix}f_{11}(x)&f_{12}(x)&\cdots &f_{1n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{i1}'(x)&f_{i2}'(x)&\cdots &f_{in}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n1}(x)&f_{n2}(x)&\cdots &f_{nn}(x)\end{pmatrix}}}$

Эта формула верна для дифференцирования определителей любых квадратных матриц.

Примеры

• Убедимся, что вронскиан линейно зависимых функций ${\displaystyle 1,x^{2},3+2x^{2}}$ равен нулю:

${\displaystyle W(f_{1},f_{2},f_{3})(x)={\begin{vmatrix}1&x^{2}&3+2x^{2}\\0&2x&4x\\0&2&4\end{vmatrix}}=8x-8x=0,\qquad x\in \mathbb {R} .}$

• Проверим теперь линейную независимость функций ${\displaystyle 1,x,x^{3}}$

${\displaystyle W(f_{1},f_{2},f_{3})(x)={\begin{vmatrix}1&x&x^{3}\\0&1&3x^{2}\\0&0&6x\end{vmatrix}}=6x,\qquad x\in \mathbb {R} .}$

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

• Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

${\displaystyle f_{1}(x)=x^{2};\qquad f_{2}(x)={\begin{cases}-x^{2},&x<0,\\x^{2},&x\geqslant 0.\end{cases}}}$

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду ноль.

${\displaystyle W(f_{1},f_{2})(x)={\begin{cases}{\begin{vmatrix}x^{2}&-x^{2}\\2x&-2x\end{vmatrix}}=0,&\;x<0,\\[15pt]{\begin{vmatrix}x^{2}&x^{2}\\2x&2x\end{vmatrix}}=0,&\;x\geq 0\end{cases}}}$

Однако эти функции, очевидно, являются линейно независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

См. также

• Общее решение дифференциального уравнения;
• Формула Лиувилля-Остроградского.

Примечания

1. Математика XVIII столетия // История математики. — М.: Наука, 1972. — Т. III. — С. 70.

Литература

Романко В.К. главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158—164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3.