Волновое число

Волновое число
${\displaystyle \ k}$
Размерность	L^−1
Единицы измерения
СИ	м^−1
СГС	см^−1
Примечания
скаляр

Волново́е число́ — быстрота роста фазы волны ${\displaystyle \varphi }$ по координате в пространстве[1]:

${\displaystyle k={\frac {d\varphi }{dx}}}$.

Может вычисляться как отношение ${\displaystyle 2\pi }$ радиан к длине волны:

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$.

Обозначение «${\displaystyle k}$» является наиболее стандартным[2]. Измеряется в рад·м^−1, физическая размерность м^−1 (в системе СГС: см^−1).

Волновое число используется в физике, математике[3] (преобразование Фурье) и таких приложениях как обработка изображений. Выступает пространственным аналогом угловой частоты[4] ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$ (${\displaystyle T}$ — период).

В одномерном случае волновому числу обычно приписывают знак плюс (минус), если волна распространяется в положительном (отрицательном) направлении оси ${\displaystyle x}$. В многомерном случае ${\displaystyle k}$ — это обычно синоним абсолютной величины волнового вектора или его компонент (несколько волновых чисел по количеству осей координат), также может быть проекцией волнового вектора на некоторое определённое выбранное направление.

В большинстве случаев волновое число имеет смысл только применительно к монохроматической волне (строго монохроматической или, по крайней мере, почти монохроматической), поэтому производную в определении можно (для этих самых распространённых случаев) заменить выражением с конечными разностями:

${\displaystyle k={\frac {\Delta \varphi }{\Delta x}}}$.

Исходя из этого, можно получить разные практически удобные формулировки понятия:

• волновое число есть разность фазы волны (в радианах) в один и тот же момент времени в пространственных точках на расстоянии единицы длины (одного метра);
• волновое число есть количество пространственных периодов (горбов) волны, приходящееся на ${\displaystyle 2\pi }$ метров;
• волновое число равно числу радиан волны на отрезке в 1 метр.

Смежной с волновым числом величиной является так называемая пространственная частота — количество периодов колебаний в пространстве на единицу длины (равное ${\displaystyle 1/\lambda }$)[5][6]. В спектроскопии пространственную частоту саму нередко именуют волновым числом и измеряют в см^−1. Такое определение отличается от обычного отсутствием множителя ${\displaystyle 2\pi }$.

Основные соотношения

Имеет место цепочка равенств:

${\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\varphi }}}={\frac {\omega }{v_{\varphi }}}}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны, ${\displaystyle \nu }$ (греческая буква «ню») — частота, ${\displaystyle v_{\varphi }}$ — фазовая скорость волны, ${\displaystyle \omega }$ — угловая частота.

Для фазы монохроматической бегущей волны можно записать:

${\displaystyle \varphi =kx-\omega t}$,

а для самой волны:

${\displaystyle u(x,t)={\rm {const}}\cdot \mathrm {cos} (kx-\omega t+\varphi _{0})}$

или в комплексном виде:

${\displaystyle u(x,t)={\rm {const}}\cdot e^{i(kx-\omega t)}}$,

здесь ${\displaystyle \varphi _{0}}$ может быть спрятано в ${\displaystyle {\rm {const}}}$,

Для монохроматической стоячей волны:

${\displaystyle u(x,t)={\rm {const}}\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0}))}$.

Замечания

Волновое число точно определено для монохроматической волны. К волнам другого вида волновое число относится через понятие спектра (а конкретнее, через преобразования Фурье), то есть немонохроматическая волна, вообще говоря, содержит в разных пропорциях монохроматические компоненты с разными волновыми числами; впрочем, почти монохроматические волны могут приближённо быть описаны как волны с определённым волновым числом (их спектр в основном сосредоточен вблизи одного значения волнового числа).

Иногда, например, в квазигеометрическом (квазиклассическом) приближении, можно рассматривать волновое число (волновой вектор) как медленно меняющийся в пространстве, то есть волну не как монохроматическую, а как квазимонохроматическую. В этом случае, естественно, лучше использовать определение волнового числа (волнового вектора) с производной, а не с конечными разностями.

В сущности, единственный физически осмысленный случай, когда волновое число (волновой вектор) может меняться с ${\displaystyle x}$, даже относительно быстро, — это случай формализма интеграла по траекториям. В этом случае в теории для описания волны присутствуют волны весьма специального вида:

${\displaystyle u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)}}$.

для которых упомянутое вполне корректно и осмысленно.

Волновое число в квантовой физике

В квантовой физике волновое число связывается с компонентой импульса по данному направлению:

${\displaystyle p_{x}=\hbar k_{x}}$,

где ${\displaystyle p_{x}}$ — компонента импульса по направлению ${\displaystyle x}$ (для одномерной системы — полный импульс), ${\displaystyle k_{x}}$ — волновое число (компонента волнового вектора) по направлению ${\displaystyle x}$ (для одномерной системы — просто волновое число), ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).

Таким образом, в квантовой физике понятия компоненты импульса и волнового числа по сути совпадают. То же относится к полному импульсу и волновому числу без указания направления волнового вектора:

${\displaystyle p=\hbar k}$.

(Более того, поскольку постоянная Планка — универсальная константа, можно выбором системы единиц просто сделать её равной 1. Тогда вообще ${\displaystyle p_{x}=k_{x}}$ м ${\displaystyle p=k}$.) Это можно считать одним из фундаментальных принципов квантовой механики.

В важном частном случае, для света в вакууме (и, в принципе, любых других безмассовых полей; приближённо — для ультрарелятивистских частиц), можно написать

${\displaystyle k={\frac {W}{\hbar c}}}$,

где ${\displaystyle W}$ — энергия, ${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме.

Волновое число в электродинамике

Уравнения плоской электромагнитной волны записываются как

${\displaystyle \Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}},\qquad \Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}}$.

Они же в координатной форме:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}},\qquad {\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}}}$.

Решение этих уравнений имеет вид:

${\displaystyle E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx),\qquad H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)}$.

Подстановка выражения для ${\displaystyle E_{y}}$ в уравнение приводит к соотношению

${\displaystyle E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\omega t-kx)}$,

откуда очевидна связь[7]

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$.

См. также

• Волновой вектор

Примечания

1. В одномерном случае выбор пространственной координаты однозначен (с точностью до зеркального отражения), в многомерном же случае по умолчанию координата x выбирается так, чтобы совпадать с направлением максимальной скорости роста фазы, то есть перпендикулярно фазовому фронту; в этом случае волновое число есть абсолютная величина волнового вектора. Наконец иногда направление x задается явно и может не совпадать с упомянутым только что; тогда обычно говорят о волновом числе по направлению x и явно указывают это в обозначении: ${\displaystyle k_{x}}$.
2. Зачастую используются и другие, как правило, оговорённые явно.
3. В математике (и многих приложениях) — в основном в терминологической форме пространственная частота или даже просто частота.
4. Круговая частота измеряется в радианах в секунду, волновое число — в радианах на метр
5. Это практически полные синонимы, различающиеся несколько лишь традиционными предпочтениями употребления в разных областях, так, термин волновое число в основном употребляется в физике (впрочем, наряду с термином пространственная частота), в математике же и различных приложениях (таких, как обработка изображений) обычно употребляется для сходного понятия термин пространственная частота и даже просто частота. Дополнительно заметим, что для термина пространственная частота (частота) нередко допускается многомерное понимание, то есть он употребляется и в качестве практического синонима термина волновой вектор, тогда как для термина волновое число такое употребление по понятным причинам практически исключено. Впрочем, компоненты волнового вектора могут называться волновыми числами по осям координат.
6. Физическая энциклопедия. В 5 томах/ Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин. — М.: Советская энциклопедия + Большая российская энциклопедия. — 1998.
7. И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Плоская электромагнитная волна"