Вырос в детском доме, который находился в блокадном Ленинграде. Фамилии ребёнка никто не знал, из-за чего решили назвать Богдановым — от «Богом дан».
Благодаря своей настойчивости в годы Великой Отечественной войны он стал юнгой на катере, а в конце войны — учеником-тромбонистом в военном оркестре. Став солистом, тяжело заболел, вышел из состава оркестра, а затем демобилизовался[1].Награждён орденом Красной Звезды и медалями.
В период обучения в ремесленном училище стал выступать за команду «Трудовые резервы» (Ленинград) (в период 1947—1949), первый тренер — Илья Рафаилович Иохельсон.
Впоследствии выступал за команды «Трудовые резервы» (Москва) (1949—1951), Вооружённые силы (Московская обл.) с 1951 года, «ЦСКА» (Москва) с 1963 года.
В Хельсинки начался триумфальный и короткий путь Анатолия Богданова, который участвовал в двух Олимпиадах и оба раза победил, а на своём единственном Чемпионате Мира 1954 года в Венесуэле стал шестикратным чемпионом. Свою активную стрелковую карьеру он закончил в возрасте 28 лет в 1959 году, победив на Чемпионате Европы, выиграв четыре золотых медали из четырёх возможных и установив мировой рекорд. Главной причиной столь раннего ухода из спорта стало то, что он был очень независимым человеком, на всё имел своё мнение, не всегда совпадающее с мнением начальства. Пытаясь сломить Богданова, стрелковые руководители СССР не включили его в сборную команду на Чемпионат Мира 1958 года в Москве и в его любимом 3х40 на триста метров сборная СССР осталась без медалей[2].
Приняв решение уйти из спорта, поступил в Военно-политическую академию имени В. И. Ленина на философский факультет. В период обучения он увлёкся стрельбой из лука и вскоре стал чемпионом Вооружённых Сил в этом виде спорта. Затем Богданов стал преподавателем Московского высшего общевойскового командного училища, а позднее — старшим преподавателем Военной академии химической защиты им. Тимошенко. Член КПСС с 1955 года.
мировой рекорд в упражнении 3х40 выстрелов из произвольной винтовки 1133 очка (1954)
мировой рекорд в упражнении 3х40 выстрелов из произвольной винтовки 1139 очков (1955)
мировой рекорд в упражнении 3х40 выстрелов из произвольной винтовки 1145 очка (1959)
Награды
орден Ленина (27.04.1957) — «за успехи, достигнутые в деле развития массового физкультурного движения в стране, повышения мастерства советских спортсменов, и успешное выступление на международных соревнованиях»