Профессиональную карьеру начал в ташкентском «Пахтакоре» в 2002 году. За три сезона провёл в составе команды 39 встреч, забив в них четырнадцать мячей. Вместе с «Пахтакором» Бикмаев трижды добивался побед в розыгрыше первенства страны, а также становился обладателем кубка.
В 2004 году Марат перебрался в Россию, заключив контракт с самарским клубом «Крылья Советов»[3]. В составе волжан Марат закрепиться не сумел, проведя за полтора года всего пять встреч в первенстве страны, а также две игры в кубке[4]. Принимал участие в первом матче второго квалификационного раунда Кубка УЕФА 2005/06.
В 2007 году пополнил ряды другого волжского клуба — казанского «Рубина», но и здесь он не имел игровой практики. Так и не сыграв ни одного матча в основной команде клуба, Бикмаев покинул Казань и переехал в Нальчик, где выступал в составе местного «Спартака». Дебют Бикмаева в новой команде состоялся 15 марта 2008 года в матче первого тура против раменского «Сатурна»[5]. Всего в составе нальчан Марат провёл полтора сезона, 48 раз появлялся на поле, трижды забивал голы. Летом 2010 года Бикмаев достаточно неожиданно расторг контракт с нальчанами и пополнил стан владикавказской «Алании»[6].
В новом клубе дебютировал 15 августа 2010 года в матче против пермского «Амкара»[7]. До конца сезона провёл в составе «барсов» ещё двенадцать игр, но это не спасло его команду от выбывания в Первую лигу российского футбола. Это не помешало владикавказскому клубу дойти до финала Кубка страны[8], что позволило ему выступать в Лиге Европы УЕФА. В данном турнире Бикмаев четырежды выходил на поле, забил один гол[9].
По окончании сезона 2011/12 контракт с футболистом продлён не был и Марат отправился в Казахстан, став игроком «Актобе»[10]. За два сезона в составе актюбинцев Марат провёл 21 матч в чемпионате страны, а также шесть встреч в Кубке, став вместе с клубом чемпионом Казахстана в 2013 году. Но 5 мая в игре с «Тоболом» получил травму (разрыв крестообразных связок колена), был прооперирован в Москве, долго восстанавливался и в конце года покинул клуб[11].
7 января 2014 года заключил двухлетний контракт с ташкентским «Локомотивом»[12]. Дебютировал в новом клубе лишь 1 октября 2014 года, выйдя на замену на 89-й минуте, но через минуту отметился голом[13]. Сыграл за «Локомотив» ещё 4 сезона и стал с ним трижды подряд чемпионом Узбекистана. 26 ноября 2018 в предпоследнем 31-м туре узбекской Суперлиги «Локомотив» победил «Пахтакор» (3:2) и досрочно третий год подряд стал чемпионом Узбекистана, снова обойдя «Пахтакор». Бикмаев забил решающих два гола, принеся своему клубу эту победу[14].
23 января 2019 года вернулся в родной «Пахтакор»[15].