Эта статья — о поведении функций при стремлении их аргументов к некоторым предельным значениям. Об асимптотах в геометрии см. Асимптота.
Асимптотический анализ — метод описания предельного поведения функций.
Например, в функции при стремлении к бесконечности слагаемое становится пренебрежимо малым по сравнению с , поэтому про функцию говорят, что она «асимптотически эквивалентна при », что зачастую также записывают как . Примером важного асимптотического результата является теорема о распределении простых чисел. Пусть обозначает функцию распределения простых чисел, то есть, равна количеству простых чисел, которые меньше либо равны , тогда теорема может быть сформулирована как .
Функции и при этом называются асимптотически эквивалентными, так как является отношением эквивалентности для функций над . Областью определения и при этом может быть любое множество, в котором имеет смысл понятие предела: вещественные числа, комплексные числа, натуральные и т. д. Те же обозначения также используются для других предельных ограничений на , таких как . Конкретный предел обычно не указывают если он понятен из контекста.
Определение выше распространено в литературе, однако оно теряет смысл если принимает значение бесконечное число раз. Поэтому некоторые авторы используют альтернативное определение в терминах O-нотации:
Данное определение эквивалентно приведённому выше если отлично от нуля в некоторой окрестности предельной точки[2][3].
Свойства
Если и , то при некоторых естественных ограничениях верно следующее:
, для любого вещественного
Указанные свойства позволяют свободно менять асимптотически эквивалентные функции друг на друга в некоторых алгебраических выражениях.
Асимптотическим разложением функции называют выражение функции в виде ряда, чьи частичные суммы могут не сходиться, но при этом любая частичная сумма даёт правильную асимптотическую оценку . Таким образом, каждый следующий элемент асимптотического разложения даёт чуть более точное описание порядка роста . Другими словами, если — асимптотическое разложение , то и, в общем случае, для любого . В соответствии с определением это значит, что , то есть, растёт асимптотически значительно медленнее
Если асимптотическое разложение не сходится, то для любого аргумента найдётся некоторая частичная сумма, которая наилучшим образом приближает функцию в этой точке, а дальнейшее добавление слагаемых к ней будет лишь уменьшать точность. Как правило, число слагаемых в такой оптимальной сумме будет увеличиваться с приближением к предельной точке.
В анализе катастроф при определении причин катастрофы моделированием множества катастроф в том же месте.
Асимптотический анализ является ключевым инструментом изучения дифференциальных уравнений, возникающих в математическом моделировании явлений реального мира[4]. Как правило, применение асимптотического анализа направлено на исследование зависимости модели от некоторого безразмерного параметра, который предполагается пренебрежимо малым в масштабах решаемой задачи.