Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Формулировки

Словесная

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число ${\displaystyle a}$ непосредственно следует как за числом ${\displaystyle b}$, так и за числом ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ тождественны;
5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа ${\displaystyle n}$, вытекает, что оно верно для следующего за ${\displaystyle n}$ натурального числа (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.

   

   Исходя из аксиом Пеано, запрещено ветвление и замыкание графа натуральных чисел

Математическая

Математическая формулировка использует функцию следования^[англ.] ${\displaystyle S(x)}$, которая сопоставляет числу ${\displaystyle x}$ следующее за ним число.

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$;
2. ${\displaystyle x\in \mathbb {N} \Rightarrow S(x)\in \mathbb {N} }$;
3. ${\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )}}$;
4. ${\displaystyle {\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c}$;
5. ${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )}}$.

Возможна и иная форма записи:

1. ${\displaystyle 1\in \mathbb {N} }$;
2. ${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \setminus \{1\}}$;
3. ${\displaystyle \exists S^{-1}}$;
4. ${\displaystyle 1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \subset M}$.

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание ${\displaystyle P}$ верно для ${\displaystyle n=1}$ (база индукции) и для любого ${\displaystyle n}$ из верности ${\displaystyle P(n)}$ следует верность и ${\displaystyle P(S(n))}$ (индукционное предположение), то ${\displaystyle P(n)}$ верно для любых натуральных ${\displaystyle n}$.

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

1. ${\displaystyle x+1=S(x)}$;
2. ${\displaystyle x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})}$;
3. ${\displaystyle x\cdot 1=x}$;
4. ${\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}}$.

Неполнота

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса — Харрингтона.

Категоричность

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если ${\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)}$ и ${\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})}$ — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}}$ такая, что ${\displaystyle f(1)={\tilde {1}}}$ и ${\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$.

Поэтому достаточно зафиксировать в качестве ${\displaystyle \mathbb {N} }$ какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Например, из аксиомы индукции вытекает, что к любому натуральному числу можно перейти от ${\displaystyle 1}$ за конечное число шагов (с помощью функции ${\displaystyle S}$). Для доказательства выберем в качестве предиката ${\displaystyle P(n)}$ само это утверждение «к числу ${\displaystyle n}$ можно перейти от ${\displaystyle 1}$ за конечное число шагов с помощью функции ${\displaystyle S}$». Верно ${\displaystyle P(1)}$. Верно также ${\displaystyle {\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}}$, поскольку ${\displaystyle S(n)}$ может быть получено из ${\displaystyle n}$ при помощи одного применения операции ${\displaystyle S}$ к числу, которое по предположению ${\displaystyle P(n)}$ может быть получено из ${\displaystyle 1}$ за конечное число применений ${\displaystyle S}$. Согласно аксиоме индукции ${\displaystyle \forall n(P(n))}$.

История

Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[3]. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана^[англ.] в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала ${\displaystyle \epsilon _{0}.}$ Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Примечания

1. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
2. Доказательство единственности натуральных чисел  (неопр.). Дата обращения: 4 февраля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.
3. Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37. — 292 с. — (Элементы математики).

Литература

• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
• Peano, G. Formulaire de mathematiques. Tome II — № 2. Bocca, Torino, 1897.
• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938.