Teorema do número poligonal de Fermat

O teorema do número poligonal de Fermat diz que todo número natural é soma de, no máximo, n números poligonais. Todo número natural pode ser escrito como a soma de três ou menos números triangulares, ou quatro ou menos números quadrados, ou cinco ou menos números pentagonais, e assim sucesivamente. 17, por exemplo, pode ser escrito como:

17 = 10 + 6 + 1 (números triangulares)

17 = 16 + 1 (números quadrados)

17 = 12 + 5 (números pentagonais).

Um caso especial bem conhecido do teorema é o teorema dos quatro quadrados de Lagrange, que prova que todo número natural pode ser expresso como a soma de quatro quadrados, por exemplo, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Joseph Louis Lagrange demonstrou o caso quadrado em 1770 e Carl Friedrich Gauss demonstrou o caso triangular em 1796 e escreveu no seu caderno "ΕΥΡΗΚΑ! N = Δ + Δ + Δ", porém o teorema só foi provado de forma geral por Cauchy em 1813. Uma demostração de Nathanson (1987) está baseada no seguinte lema dado por Cauchy:

Para números naturais ímpares ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tais que ${\displaystyle b^{2}<4a}$ e ${\displaystyle 3a<b^{2}+2b+4}$ se pode encontrar números inteiros não negativos ${\displaystyle s,t,u}$ e ${\displaystyle v}$ tais que ${\displaystyle a=s^{2}+t^{2}+u^{2}+v^{2}}$ e ${\displaystyle b=s+t+u+v.}$

Ver também

• Teorema dos quatro quadrados
• Problema de Waring
• Conjectura dos números octaédricos de Pollock

Referências

• «Fermat's Polygonal Number Theorem». em MathWorld. 
• Nathanson, M. B. "A Short Proof of Cauchy's Polygonal Number Theorem." Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 99, No. 1, 22-24, (Jan. 1987).
• «Thomas Little Heath, Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra (1910), Cambridge University Press» 

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