Teorema do confronto

Em cálculo, o Teorema do Enquadramento, também conhecido como o teorema do confronto, teorema da sanduíche, a regra da sanduíche, é um teorema relativo ao limite de uma função.

O teorema do confronto é utilizado em cálculo e análise matemática. É tipicamente utilizado para confirmar o limite de uma função através da comparação com duas outras funções cujos limites são conhecidos ou facilmente computados. Foi inicialmente utilizado geometricamente pelos matemáticos Arquimedes e Eudoxo num esforço para calcular π, e foi formulado em termos modernos por Carl Friedrich Gauss.

Em muitas línguas (por exemplo, francês, alemão, italiano, húngaro e russo), o teorema do aperto é também conhecido como o teorema dos dois polícias (e um bêbado), ou alguma variação do mesmo. Nessa história dois polícias estão escoltando um bêbado, não importa o quanto ele cambaleie entre eles, ou que caminho tomam, se forem capazes de o manter entre eles, e os dois polícias estiverem para a mesma cela, o bêbado também irá para essa mesma cela.

Teorema das funções enquadradas (Teorema do confronto para funções)

Sejam ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$ e ${\displaystyle h(x)}$ funções reais definidas num domínio ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ e seja ${\displaystyle a}$ um ponto deste domínio, tais que:

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}$
• ${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$

Então, resulta destas condições que:

• ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$

Teorema das sucessões enquadradas (Teorema do confronto aplicado a sucessões/sequências)

Sejam ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle b_{n}}$ e ${\displaystyle c_{n}}$ sucessões de números reais tais que:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}}$

Então, resulta destas condições que:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$

Para ${\displaystyle L}$ finito, a sucessão diz-se convergente (para ${\displaystyle L}$).

Exemplo (com ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$)

Gráfico alusivo ao teorema do confronto.

Considere o gráfico à direita, no qual estão representadas as funções: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}$ (azul escuro), ${\displaystyle g(x)={\frac {\sin x}{x^{2}}}}$ (cinzento tracejado) e ${\displaystyle h(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}}$ (azul ciano).

Repare que a função ${\displaystyle g(x)}$ está "enquadrada" (i.e., limitada inferior e superiormente) pelas outras duas funções:

• ${\displaystyle h(x)\leq g(x)\leq f(x)}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow -{\frac {1}{x^{2}}}\leq {\frac {\sin x}{x^{2}}}\leq {\frac {1}{x^{2}}}}$

e que

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }-{\frac {1}{x^{2}}}=0}$,

Conclui-se que o comportamento de ${\displaystyle g(x)}$ à medida que ${\displaystyle x\to +\infty }$ traduz-se analiticamente por:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sin x}{x^{2}}}=0}$

O resultado é análogo para as sucessões correspondentes às funções dadas, visto que a única diferença será o domínio da variável ${\displaystyle x}$ (nesse caso, ${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$).

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Referências