Sistema de numeração vigesimal

Parte da série sobre
sistemas de numeração

O sistema vigesimal é o sistema de numeração que tem a base no número vinte.

A base vinte provavelmente tem a mesma origem que a base dez, que se relaciona às contagens primitivas feitas com os dedos - no caso da base vinte, somados os dedos das mãos aos dos pés.

A base vinte é usada para a contagem e nomeação dos numerais na Língua francesa na qual, por exemplo, o número 80 é designado por quatre-vingts ou seja, literalmente, quatro-vintes 80. Há também a forma huitante usada em Suíça.

O número vinte (tyve ) também é usado como um número básico na Língua dinamarquesa na qual Tres (abreviado de tresindstyve ) significa 3 vezes 20 ou seja 60; firs (abreviado de firsindstyve ) significa 4 vezes 20 isto é 80.

Também na Língua galesa o vocábulo ugain (vinte) é usado como um número básico embora no final do século XX o sistema decimal tenha obtido preferência. Aí, Deugain significa 2 vezes 20 ou seja 40 , trigain significa 3 vezes 20 ou seja 60. Antes da adoção do sistema decimal de moeda em 1971, chwigain de papur (6 vezes 20 (=120) de papéis) era o apelido da nota de 10 xelim (=120 pence).

Na Língua georgiana o vocábulo otsi (vinte) é usado como um número básico também. Por exemplo o número 31 (otsdatertmet'i ) ou seja, literalmente, vinte-e-onze. O número 67 (samotsdashvidi ) significa "três-vinte-e-sete".

Numerais maias.

Na civilização maia e asteca toda a matemática e sistema de calendários utilizava a base vigesimal, o que lhes valeu a possibilidade de calcular cifras altíssimas e assim conseguir precisão superior à da matemática em uso na Europa da época dos descobrimentos.

No antigo Reino Unido no sistema de moeda corrente, havia vinte xelims em um pound.

De acordo com o linguista alemão Theo Vennemann, o sistema vigesimal na Europa teve origem na Língua basca antiga e dela foi cooptada pelas outras línguas europeias, notadamente idiomas com origem céltica como o francês e o dinamarquês.

Porém de acordo com Menninger o sistema de numeração vigesimal se originou na linguagem dos Normandos.

Símbolos

São 20 símbolos e são assim 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.[1][2]

Posições

Em um sistema de posicional vigesimal, vinte algarismos individuais (ou símbolos de dígitos) são usados, dez a mais do que no sistema decimal. Um método moderno de encontrar os símbolos extras necessários é escrever dez como a letra A, ou A 20, onde o 20 significa base 20, para escrever dezenove como J 20, e os números entre com as letras correspondentes do alfabeto. Isso é semelhante à prática comum da ciência da computação de escrever numerais hexadecimais acima de 9 com as letras "A-F". Outro método menos comum pula a letra "I", a fim de evitar confusão entre I 20 como dezoito e um, de modo que o número dezoito é escrito como J 20, e dezenove é escrito como K20. O número vinte está escrito como 1020.[1][2]

Tabela de multiplicação vigesimal
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10
2 4 6 8 A C E G I 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 1G 1I 20
3 6 9 C F I 11 14 17 1A 1D 1G 1J 22 25 28 2B 2E 2H 30
4 8 C G 10 14 18 1C 1G 20 24 28 2C 2G 30 34 38 3C 3G 40
5 A F 10 15 1A 1F 20 25 2A 2F 30 35 3A 3F 40 45 4A 4F 50
6 C I 14 1A 1G 22 28 2E 30 36 3C 3I 44 4A 4G 52 58 5E 60
7 E 11 18 1F 22 29 2G 33 3A 3H 44 4B 4I 55 5C 5J 66 6D 70
8 G 14 1C 20 28 2G 34 3C 40 48 4G 54 5C 60 68 6G 74 7C 80
9 I 17 1G 25 2E 33 3C 41 4A 4J 58 5H 66 6F 74 7D 82 8B 90
A 10 1A 20 2A 30 3A 40 4A 50 5A 60 6A 70 7A 80 8A 90 9A A0
B 12 1D 24 2F 36 3H 48 4J 5A 61 6C 73 7E 85 8G 97 9I A9 B0
C 14 1G 28 30 3C 44 4G 58 60 6C 74 7G 88 90 9C A4 AG B8 C0
D 16 1J 2C 35 3I 4B 54 5H 6A 73 7G 89 92 9F A8 B1 BE C7 D0
E 18 22 2G 3A 44 4I 5C 66 70 7E 88 92 9G AA B4 BI CC D6 E0
F 1A 25 30 3F 4A 55 60 6F 7A 85 90 9F AA B5 C0 CF DA E5 F0
G 1C 28 34 40 4G 5C 68 74 80 8G 9C A8 B4 C0 CG DC E8 F4 G0
H 1E 2B 38 45 52 5J 6G 7D 8A 97 A4 B1 BI CF DC E9 F6 G3 H0
I 1G 2E 3C 4A 58 66 74 82 90 9I AG BE CC DA E8 F6 G4 H2 I0
J 1I 2H 3G 4F 5E 6D 7C 8B 9A A9 B8 C7 D6 E5 F4 G3 H2 I1 J0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 C0 D0 E0 F0 G0 H0 I0 J0 100
Decimal Vigesimal
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 A
11 B
12 C
13 D
14 E
15 F
16 G
17 H
18 I J
19 J K

De acordo com essa notação:

2020 equivale a quarenta em decimal = (2 × 20 1) + (0 × 200)
D020 equivale a duzentos e sessenta em decimal = (13 × 20 1) + (0 × 200)
10020 equivale a quatrocentos em decimal = (1 × 20 2) + (0 × 20 1) + (0 × 200).

No restante deste artigo abaixo, os números são expressos em notação decimal, a menos que especificado de outra forma. Por exemplo, 10 significa dez, 20 significa vinte. Os números na notação vigesimal usam a convenção de que I significa dezoito e J significa dezenove.[1][2]

Números cíclicos

A fatoração primária de vinte é 22 × 5, por isso não é um poder perfeito. No entanto, sua parte livre de quadrados, 5, é congruente com 1 (mod 4). Assim, de acordo com a conjectura de Artin sobre raízes primitivas, o vigesimal tem infinitos primos cíclicos, mas a fração de primos que são cíclicos não é necessariamente ~37,395%. Um programa UnrealScript que calcula os comprimentos de períodos recorrentes de várias frações em um dado conjunto de bases descobriu que, dos primeiros 15 456 primos, ~39,344% são cíclicos em vigesimal.[1][2]

Números reais

Número irracional algébrico Em decimal Em vigesimal
√2 (o comprimento da diagonal de um quadrado unitário) 1,41421356237309... 1,85DE37JGF09H6...
√3 (o comprimento da diagonal de um cubo unitário) 1,73205080756887... 1,ECG82BDDF5617...
√5 (o comprimento da diagonal de um retângulo de 1 × 2) 2,2360679774997... 2,4E8AHAB3JHGIB...
φ (phi, a proporção áurea = 1+√5/2) 1,6180339887498... 1,C7458F5BJII95...
Número irracional transcendental Em decimal Em vigesimal
π (pi, a razão entre circunferência e diâmetro) 3,14159265358979... 3,2GCEG9GBHJ9D2...
e (a base do logaritmo natural) 2,7182818284590452... 2,E7651H08B0C95...
γ (o pi entre a série harmônica e o logaritmo natural 2) 0,5772156649015328606... 0,BAHEA2B19BDIBI...

Referências

  1. ↑ a b c d Karl Menninger: Number words and number symbols: a cultural history of numbers; translated by Paul Broneer from the revised German edition. Cambridge, Mass.: M.I.T. Press, 1969 ISBN 0-486-27096-3
  2. ↑ a b c d Levi Leonard Conant: The Number Concept: Its Origin and Development; Nova York: Macmillan & Co, 1931. Projeto Gutenberg EBook

Fontes