Sem perda de generalidade

Sem perda de generalidade (também abreviado para SPDG;[1] menos comumente escrito como sem qualquer perda de generalidade) é uma expressão frequentemente usada em matemática. O termo é usado para indicar que a suposição que se segue é escolhida arbitrariamente, restringindo a premissa a um caso particular, mas não afeta a validade da prova em geral. Os outros casos também são comprovados por alguma simetria — ou outra equivalência ou semelhança.[2][3] Como resultado, uma vez que uma prova é fornecida para o caso particular, é trivial adaptá-la para provar a conclusão em todos os outros casos.

Em muitos cenários, o uso de "sem perda de generalidade" é possibilitado pela presença de simetria. Por exemplo, se alguma propriedade ${\displaystyle P(x,y)}$ de números reais é conhecida por ser simétrica em ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, ou seja, que ${\displaystyle P(x,y)}$ é equivalente a ${\displaystyle P(y,x)}$, então, ao provar que ${\displaystyle P(x,y)}$ vale para cada ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, pode-se supor, "sem perda de generalidade", que ${\displaystyle x\leq y}$. Não há perda de generalidade nesta suposição, uma vez que o caso ${\displaystyle x\leq y\Rightarrow P(x,y)}$ foi provado, o outro caso segue por ${\displaystyle y\leq x\Rightarrow P(y,x)\Rightarrow P(x,y)}$,[4] mostrando assim que ${\displaystyle P(x,y)}$ é válido para todos os casos.

Por outro lado, se tal simetria (ou outra forma de equivalência) não puder ser estabelecida, o uso de "sem perda de generalidade" é incorreto e pode equivaler a um prova por exemplo — uma falácia lógica de provar uma afirmação provando um exemplo não representativo.[5][3]

Exemplo

Considere o seguinte teorema (que é um caso do princípio da casa dos pombos):

Se três objetos forem pintados de vermelho ou azul, deve haver pelo menos dois objetos da mesma cor.

Uma prova:

Suponha, sem perda de generalidade, que o primeiro objeto é vermelho. Se qualquer um dos outros dois objetos for vermelho, estamos acabados; se não, os outros dois objetos devem ser azuis e ainda assim terminamos.

Aqui, observe que o argumento acima funciona porque o mesmo raciocínio exato poderia ser aplicado se a suposição alternativa, a saber, que o primeiro objeto é azul, fosse feita. Como resultado, o uso de "sem perda de generalidade" é válido neste caso.

Ver também

• Salvo (matemática)

References

1. «Pequeno Dicionário de Matemática Superior - hypercubic». www.blogs.unicamp.br. Consultado em 22 de setembro de 2020 
2. Chartrand, Gary; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008), Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics, ISBN 0-321-39053-9 2nd ed. , Pearson/Addison Wesley, pp. 80–81 
3. «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Without Loss of Generality». Math Vault (em inglês). 1 de agosto de 2019. Consultado em 21 de outubro de 2019 
4. a partir da implicação comprovada trocando x e y e por simetria de P
5. «An Acyclic Inequality in Three Variables». www.cut-the-knot.org. Consultado em 21 de outubro de 2019 

Ligações externas

• «WLOG». PlanetMath 
• "Without Loss of Generality" by John Harrison - discussion of formalizing "WLOG" arguments in an automated theorem prover.

• Portal da matemática