Relação total

Na matemática, uma relação binária R sobre um conjunto X é dita total se para todo a e b em X, a está relacionado com b ou b está relacionado com a (ou ambos).

Pela notação matemática, isso é equivalente a

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\lor bRa.}$

Note que essa definição implica reflexidade.

Por exemplo, a relação "menor ou igual" é total sobre o conjunto dos números reais, porque para dois números quaisquer, ou o primeiro é menor que ou igual ao segundo ou o segundo é menor ou igual ao primeiro. Por outro lado, a relação "menor" não é total, pois, pegando dois números iguais, o primeiro não é menor que o segundo nem o segundo é menor que o primeiro.

Em "Principia Mathematica" ", Bertrand Russell e A. N. Whitehead refere-se a "relações que geram uma série"[1] como relações seriais . Sua noção difere deste artigo, pois a relação pode ter um alcance finito.

Para uma relação R , deixe { y : xRy } denotar a "vizinhança sucessora" de x . Uma relação serial pode ser equivalentemente caracterizada como todo elemento que possui uma vizinhança sucessora não vazia. Da mesma forma, uma relação 'inversa serial' é uma relação na qual todo elemento possui "vizinhança predecessora" não vazia.[2] Mais comumente, uma relação serial inversa é chamada de relação subjetiva e é especificada por um total relação inversa.[3]

Referências

1. B. Russell & A. N. Whitehead (1910) Principia Mathematica, volume one, page 141 from University of Michigan Historical Mathematical Collection
2. Yao, Y. (2004). «Semantics of Fuzzy Sets in Rough Set Theory». Transactions on Rough Sets II. Col: Lecture Notes in Computer Science. 3135. [S.l.: s.n.] 309 páginas. ISBN 978-3-540-23990-1. doi:10.1007/978-3-540-27778-1_15 
3. Gunther Schmidt (2011). Relational Mathematics. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 9780511778810. doi:10.1017/CBO9780511778810  Definition 5.8, page 57.

• Jing Tao Yao and Davide Ciucci and Yan Zhang (2015). «Generalized Rough Sets». In: Janusz Kacprzyk and Witold Pedrycz. Handbook of Computational Intelligence. [S.l.]: Springer. pp. 413—424. ISBN 9783662435052  Here: page 416.
• Yao, Y.Y.; Wong, S.K.M. (1995). «Generalization of rough sets using relationships between attribute values» (PDF). Proceedings of the 2nd Annual Joint Conference on Information Sciences: 30–33 .

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