Problemas de Landau

Os Problemas de Landau são quatro conhecidos problemas sobre os números primos, que Edmund Landau catalogou como "inatacáveis no estado atual da ciência" durante o Congresso Internacional de Matemáticos de 1912.

Os quatro problemas são os seguintes:

• A conjectura de Goldbach: Todo número par maior que 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos ?
• A conjectura dos números primos gêmeos: Há infinitos números primos p tais que (p+2) também é um número primo ?
• A conjectura de Legendre: Sempre existe um número primo entre dois quadrados perfeitos ?
• A conjectura de que há infinitos números primos p tais que (p-1) é um quadrado perfeito. Dizendo de outra forma, há infinitos números primos da forma ${\displaystyle n^{2}+1}$ ?

Progresso

Conjectura de Goldbach

O Teorema de Vinográdov demostra a conjectura fraca de Goldbach para os n suficientemente grandes. Deshouillers,Effinger, Te Riele e Zinaviev demostraram a conjetura fraca de forma condicionada à hipótese generalizada de Riemann.[1]Sabe se que a conjetura fraca se cumpre para todo n fora do intervalo ${\displaystyle (10^{20},e^{3100})}$[1][2]

O teorema de Chen demostra que para todos os n suficientemente grandes, ${\displaystyle 2n=p+q}$ onde p é primo e q é primo ou semiprimo. Montgomery e Vaughan demostraram que o conjunto excepcional dos números pares que não podem ser expressos como soma de dois primos tem densidade zero.[3]

Conjectura dos primos gêmeos

Goldston, Pintz e Yıldırım demostraram que a diferença entre dois números primos consecutivos pode ser muito menor que a diferença média entre dois primos consecutivos:

${\displaystyle \liminf {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}$[4]

Anteriormente, demostraram condicionalmente,sobreconjetura de Elliott-Halberstam, uma versão mais fraca da conjectura dos números primos gêmeos em que há um número infinito de primos p tais que ${\displaystyle \pi (p+20)-\pi (p)\geq 1}$. Onde ${\displaystyle \pi (x)}$ é a função de contagem de números primos. A conjectura dos primos gêmeos substitui o 20 da expressão por 2.[5]

Chen demonstrou que existem infinitos primos p ( que posteriormente ficaram conhecidos como primos de Chen ) tais que p + 2 é primo ou semiprimo.

Conjectura de Legendre

É suficiente mostrar que cada número primo p, a diferença com o próximo primo é menor que ${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$. Uma tabela de diferenças máximas entre os primos consecutivos mostra que a conjetura se verifica até 10^18.[6] Um contra exemplo próximo a 10^18 requeriria uma diferença de cinquenta milhões de vezes maior que a diferencia média entre um primo e o seguinte de.

Um resultado de Ingham mostra que existe um número primo entre ${\displaystyle n^{3}}$ e ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ para cada n suficientemente grande..[7]

Primos da forma n^2+1 (${\displaystyle n^{2}+1}$)

O teorema de Friedlander-Iwaniec mostra que há infinitos números primos da forma ${\displaystyle x^{2}+y^{4}}$. Iwaniec também mostrou que existem infinitos números da forma ${\displaystyle n^{2}+1}$ com no máximo dois fatores primos.[8]

Referências

1. Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society 3, pp. 99-104 (1997).
2. Liu, M. C.; Wang, T. Z. (2002). «On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture». Acta Arithmetica. 105: 133–175. doi:10.4064/aa105-2-3 
3. Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). «The exceptional set in Goldbach's problem» (PDF). Acta Arithmetica. 27: 353–370 
4. Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Primes in tuples. II. Preprint.
5. Daniel Alan Goldston, Yoichi Motohashi, János Pintz and Cem Yalçın Yıldırım, Small Gaps between Primes Exist. Proceedings of the Japan Academy, Series A Mathematical Sciences 82 4 (2006), pp. 61-65.
6. Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps
7. Ingham, A. E. (1937). «On the difference between consecutive primes». Quarterly Journal of Mathematics Oxford. 8 (1): 255–266. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255 
8. Iwaniec, H. (1978). «Almost-primes represented by quadratic polynomials». Inventiones Mathematicae. 47 (2): 178–188. doi:10.1007/BF01578070 

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. "Landau's Problems." MathWorld (em inglês)