Problema inverso

Um problema inverso é uma estrutura geral que é usada para converter as medidas observadas em informações sobre um objeto físico ou sistema no qual estamos interessados. Por exemplo, se tem-se medições do campo gravitacional terrestre, então pode-se fazer a pergunta: "dado os dados que temos disponíveis, o que pode-se afirmar sobre a distribuição de densidade da Terra nesta área?" A solução para este problema (i.e. a distribuição de densidade que melhor coincide com os dados) é útil porque ela geralmente nos diz algo sobre um parâmetro físico que não podemos diretamente observar. Então, problemas inversos são um dos mais importantes e bem estudados problemas matemáticos em ciência e matemática. Problemas inversos surgem em muitos campos de ciência e matemática, incluindo: visão computacional, aprendizagem de máquina, estatística, inferência estatística, geofísica, imagens médicas (tal como tomografia computadorizada axial e EEG/ERP), sensoriamento remoto, tomografia acústica oceânica, ensaios não destrutivos, astronomia, física e muitos outros campos.

Historia

O campo dos problemas inversos foi primeiramente descoberto e apresentado pelo físico soviético-armênio Viktor Ambartsumian.[1][2]

Enquanto ainda era estudante, Ambartsumian estudou a teoria da estrutura atômica, a formação de níveis de energia e a equação de Schrödinger e suas propriedades, e quando dominou a teoria de autovalores das equações diferenciais, apontou a analogia aparente entre os níveis discretos de energia e os autovalores de equações diferenciais. Então ele perguntou: dada uma família de Auto-valores, é possível encontrar a forma das equações para estes autovalores? Essencialmente Ambartsumian foi examinar o problema de Sturm-Liouville inverso, que lidava com a determinação das equações de uma corda vibrante. Este artigo foi publicado em 1929 no periódico alemão Zeitschrift für Physik e permaneceu no esquecimento durante um longo tempo. Descrevendo a situação depois de muitas décadas, Ambartsumian disse, "Se um astrônomo publica um artigo com conteúdo matemático num periódico de física, então a coisa mais provável que irá acontecer é o esquecimento."

No entanto, até o final da Segunda Guerra Mundial, este artigo, escrito por Ambartsumian aos 20 anos de idade, foi encontrado por matemáticos suecos e formaram o ponto de partida para toda uma área de pesquisa sobre problemas inversos, tornando-se a fundação de uma disciplina inteira.

Compreensão conceitual

O problema inverso pode ser conceitualmente formulado como:

Dados → Parâmetros do modelo

O problema inverso é considerado o "inverso" para o problema inicial, que relaciona os parâmetros do modelo com os dados que observamos:

Parâmetros do modelo → Dados

A transformação de dados para os parâmetros do modelo (ou vice-versa) é um resultado da interação de um sistema físico com o objeto que desejamos inferir sobre propriedades. Em outras palavras, a transformação é a física que relaciona a grandeza física (ou seja, os parâmetros do modelo) para os dados observados.

A tabela abaixo mostra alguns exemplos de: sistemas físicos, a física que os rege, a grandeza física que estamos interessados​​, e aquilo que realmente observa-se.

Sistema físico	Equações governantes	Grandeza física	Dados observáveis
Campo gravitacional da Terra	Lei da gravitação de Newton	Densidade	Campo gravitacional
Campo magnético da Terra (na superfície)	Equações de Maxwell	Susceptibilidade magnética	Campo magnético
Ondas sísmicas (de terremotos)	Equações de onda	velocidade de onda (densidade)	Velocidade de partícula

Álgebra linear é útil na compreensão da construção física e matemática de problemas inversos, por causa da presença da transformação ou "mapeamento" de dados para os parâmetros do modelo.

Afirmações gerais do problema

O objetivo de um problema inverso é encontrar o melhor modelo, ${\displaystyle m}$, tal que (ao menos aproximadamente)

${\displaystyle \ d=G(m)}$

onde ${\displaystyle G}$ é um operador descrever a relação explícita entre os dados observados, ${\displaystyle d}$, e os parâmetros do modelo. Em vários contextos, o operador ${\displaystyle G}$ é chamado operador forward, operador de observação, ou função de observação. No contexto mais geral, G representa as equações governantes que relacionam os parâmetros aos dados observados (i.e. a física governate).

Referências

1. Epilogue – Ambartsumian’ s paper - ambartsumian.ru(em inglês)
2. A life in astrophycis. Selected papers of Viktor A. Ambartsumian (Artigos selecionados) Editado por Rouben V. Ambartsumian, com uma introdução por Geoffrey Burbidge, Allerton Press, Inc., 150 Fifth Avenue, New York NY 1001, Fax [phone] (em inglês)

• Chadan, Khosrow & Sabatier, Pierre Célestin (1977). Inverse Problems in Quantum Scattering Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-08092-9
• Aster, Richard [et al.] (2004). Parameter Estimation and Inverse Problems, Elsevier. ISBN 978-0-12-065604-2; ISBN 0-12-065604-3

Sociedades de problemas inversos

• Inverse Problems International Association (em inglês)
• Finnish Inverse Problems Society (em inglês)

Ver também

• Casos particulares com solução e inversão conhecidas da equação de Fokker–Planck