Problema do quadrado inscrito

Nesta ilustração, a curva preta tracejada passa por todos os vértices de alguns quadrados azuis.

O problema do quadrado inscrito, também conhecido por conjectura de Toeplitz, é uma questão em aberto em geometria: Qualquer curva plana simples fechada contém os quatro vértices de um quadrado? Sabe-se que a resposta é afirmativa se a curva é convexa ou de trechos suaves, e em outros casos especiais. O problema foi proposto por Otto Toeplitz em 1911. Alguns resultados positivos foram obtidos por Arnold Emch[1] e Lev Schnirelmann.[2] Mas, ao menos até 2020, o caso geral continuava em aberto.[3][4][5]

Considerações

Seja C uma curva de Jordan. Um polígono P é inscrito em C se todos os vértices de P pertencem à C. O problema do quadrado inscrito pergunta:

Qualquer curva de Jordan admite um quadrado inscrito?

Algumas figuras, como círculos e quadrados, admitem infinitos quadrados inscritos. Se C for um triângulo obtuso então ele admite exatamente um quadrado inscrito.

Notas

Referências

  1. ↑ Emch, Arnold (1916), «On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs», American Journal of Mathematics, 38 (1): 6–18, MR 1506274, doi:10.2307/2370541 .
  2. ↑ Šnirel'man, L. G. (1944), «On certain geometrical properties of closed curves», Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 10: 34–44, MR 0012531 .
  3. ↑ https://www.quantamagazine.org/new-geometric-perspective-cracks-old-problem-about-rectangles-20200625/
  4. ↑ Strashimir G. Popvassilev - On the Number of Inscribed Squares in a Simple Closed Curve in the Plane
  5. ↑ Jean-Paul Delahaye / Pour la Science N°412 - fevrier 2012, La conjecture du carré inscrit, pp. 82-87.

Leitura adicional

Ligações externas