Problema do isomorfismo de subgrafos

Em teoria da complexidade, o problema do isomorfismo de subgrafos é um problema de decisão que se sabe ser NP-completo.

Definição

Isomofismo de Subgrafos ${\displaystyle (G_{1},G_{2})}$
Entrada: Dois grafos ${\displaystyle \,G_{1}}$ e ${\displaystyle \,G_{2}}$.
Pergunta: ${\displaystyle \,G_{1}}$ é isomórfico (há um isomorfismo de grafos) a um subgrafo de ${\displaystyle \,G_{2}}$?

Ou, informalmente: tome dois grafos não dirigidos ${\displaystyle \,G_{1}}$ e ${\displaystyle \,G_{2}}$ e verifique se ${\displaystyle \,G_{1}}$ é subgrafo de ${\displaystyle \,G_{2}}$ (a menos de um isomorfismo) ou não. Em outras palavras, o problema verifica se há ou não uma função ${\displaystyle \,f}$ que mapeie os vértices de ${\displaystyle \,G_{1}}$ nos vértices de ${\displaystyle \,G_{2}}$ de forma tal que haja uma aresta ${\displaystyle \,\{u,v\}}$ em ${\displaystyle \,G_{1}}$ exatamente quando ${\displaystyle \,\{f(u),f(v)\}}$ está em ${\displaystyle \,G_{2}}$.

Algumas vezes o nome casamento de subgrafos é usado para o mesmo problema. Este nome dá ênfase à busca de um tal subgrafo, em contraste ao mero problema de decisão.

Classe de Complexidade

A demonstração de que o problema do isomorfismo de subgrafos é NP-completo é simples e baseada na redução ao problema do clique (que se sabe ser NP-completo), mostrando que CLIQUE ${\displaystyle \leq }$ _p isomorfismo de subgrafos. Se o isomorfismo de subgrafos fosse polinomial, poder-se-ia usá-lo para resolver o problema do clique em tempo polinomial. Tome n como o número de arestas em ${\displaystyle \,G}$: poder-se-ia então rodar o isomorfismo de subgrafos ${\displaystyle n-2}$ vezes (com ${\displaystyle \,G_{1}}$ sendo um clique de tamanho 3 até ${\displaystyle n}$, e ${\displaystyle \,G_{2}}$ sendo ${\displaystyle \,G}$) para encontrar o maior clique em ${\displaystyle \,G}$.

O isomorfismo de subgrafos é uma generalização do problema potencialmente mais fácil do isomorfismo de grafos; se o problema do isomorfismo de grafos fosse NP-completo, a hierarquia polinomial colapsaria, então suspeita-se que ele não o seja.

Áreas de aplicação

Na área de quimioinformática freqüentemente o termo pesquisa de subestruturas é usado. Tipicamente uma estrutura de consulta é definida como SMARTS, uma extensão de SMILES.

É também de grande importância para gramáticas de grafos.

Bibliografia

• J. R. Ullmann: "An Algorithm for Subgraph Isomorphism". Journal of the ACM, 23(1):31–42, 1976.
• Michael R. Garey and David S. Johnson (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. [S.l.]: W.H. Freeman. ISBN 0-7167-1045-5  A1.4: GT48, pg.202.

Referências

• Portal da matemática