Probabilidade condicionada

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Na matemática, a probabilidade condicionada refere-se à probabilidade de um evento A sabendo que ocorreu um outro evento B e representa-se por P(A|B), lida "probabilidade condicional de A dado B" ou ainda "probabilidade de A dependente da condição B".

Definição

A probabilidade de B condicionada por A (ou dado A, ou sabendo que A) é definida por:[1]

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(B\cap A)}{P(A)}}.}$

dado ${\displaystyle {P(A)}>0}$

Assim, a probabilidade de B muda após o evento A ter acontecido. Isso porque o resultado de B é uma das possibilidades de A. Precisamos calcular os eventos que são comuns a A e também a B, ou seja ${\displaystyle A\cap B}$.

Exemplo

Considere-se um baralho de 52 cartas. A probabilidade de ao retirar uma carta sair um rei é 4/52, ou 1/13. No entanto, se alguém retira uma carta e nos diz que é uma figura, então a probabilidade de a carta retirada ser um rei é 4/12=1/3, ou seja, P(sair um rei|sair uma figura)=1/3.

Acontecimentos independentes

Dois acontecimentos dizem-se independentes se ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$. Isto significa que ${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A)\cdot P(B)}{P(B)}}=P(A)}$, ou seja, que a ocorrência de B não tem qualquer efeito sobre a de acontecer A.

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes relaciona as probabilidades de A e B com as respectivas probabilidades condicionadas mútuas. Este teorema afirma que:

${\displaystyle P(B\mid A)=P(A\mid B)\cdot {\frac {P(B)}{P(A)}}.}$

Falácia da probabilidade condicionada

A falácia da probabilidade condicionada consiste em supor que P(A|B) é igual a P(B|A). No entanto, pelo teorema de Bayes, estas probabilidades condicionadas só são iguais se, e somente se, A e B tiverem a mesma probabilidade.

Ver também

• Epistemologia bayesiana

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1. «Conditional Probability». www.stat.yale.edu. Consultado em 13 de junho de 2023