Princípio de divisão

Em matemática, o princípio de divisão é uma técnica usada para reduzir questões sobre fibrados vectoriais para o caso de fibrados de linhas.

Em sua forma mais comum, o princípio pode ser enunciado do seguinte modo: [1]

Teorema: Seja ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ um fibrado vetorial de dimensão ${\displaystyle n}$ sobre um espaço paracompacto ${\displaystyle X}$. Então existe uma variedade ${\displaystyle Y=Fl(E)}$ e uma aplicação ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$ tal que

1. o homomorfismo induzido na cohomologia ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$ é injetivo e
2. o pullback ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ se divide como a soma direta de fibrados de linha: ${\displaystyle p^{*}(E)=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{n}.}$

As classes de Chern ${\displaystyle c_{1}(L_{1}),...,c_{n}(L_{n})}$ são ditas as raízes de Chern de ${\displaystyle E}$. O ponto é que, como ${\displaystyle p^{*}}$ é injetiva, toda fórmula envolvendo classes de Chern em ${\displaystyle Y}$ vale também em ${\displaystyle X}$. Para provarmos fórmulas do tipo, portanto, podemos considerar somente somas diretas de fibrados de linha.

O princípio da divisão possui várias variações. A seguinte, em particular, trata de fibrados vetoriais reais e suas complexificações:[2]

Teorema: Seja ${\displaystyle \xi \colon E\rightarrow X}$ um fibrado vetorial real de dimensão ${\displaystyle 2n}$ sobre um espaço paracompacto ${\displaystyle X}$. Então existe um espaço ${\displaystyle Y}$ e uma aplicação ${\displaystyle p\colon Y\rightarrow X}$ tal que

1. o homomorfismo induzido na cohomologia ${\displaystyle p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)}$ é injetivo e
2. o pullback ${\displaystyle p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y}$ se divide como a soma de fibrados de linha: ${\displaystyle p^{*}(E\otimes \mathbb {C} )=L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \cdots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}}.}$

Referências

1. Raoul Bott e Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Toplogy, seção 21.
2. H. Blane Lawson e Marie-Louise Michelsohn, Spin Geometry, Proposição 11.2.

• Hatcher, Allen (2003), Vector Bundles & K-Theory (2.0 ed.) seção 3.1

• Portal da matemática