Princípio da reflexão

O gráfico mostra uma simulação de um processo de Wiener (+/-1 passo unitário) e seu reflexo em um ponto de cruzamento. Usado para ilustrar o princípio da Reflexão na teoria das probabilidades.

Na teoria das probabilidades e nos processos estocásticos, o princípio da reflexão para um processo de Wiener afirma que, se o caminho de um processo de Wiener ${\displaystyle f(t)}$ atingir um valor ${\displaystyle f(s)=a}$ em um tempo ${\displaystyle t=s}$, então o caminho subsequente depois do tempo ${\displaystyle s}$ tem a mesma distribuição da reflexão do caminho subsequente sobre o valor ${\displaystyle a}$. Mais formalmente, o princípio da reflexão se refere a um lema que diz respeito à distribuição do supremo do processo de Wiener, também chamado de movimento browniano. O resultado relaciona a distribuição do supremo do movimento browniano até o tempo ${\displaystyle t}$ com a distribuição do processo no tempo ${\displaystyle t}$. É um corolário da propriedade forte de Markov do movimento browniano.[1]

Afirmação

Se ${\displaystyle (W(t):t\geq 0)}$ for um processo de Wiener a ${\displaystyle a>0}$ for um limiar (também chamado de ponto de cruzamento), então o lema afirma:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a).}$

De forma mais forte, o princípio da reflexão afirma que, se ${\displaystyle \tau }$ for um tempo de parada, então a reflexão do processo de Wiener que começa em ${\displaystyle \tau }$, denotada ${\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}$, é também um processo de Wiener, em que:

${\displaystyle W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}}$

e a função indicadora ${\displaystyle \chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{se }}t\leq \tau \\0,&{\text{de outro modo }}\end{cases}}}$ e ${\displaystyle \chi _{\{t>\tau \}}}$ são definidos de forma semelhante. A forma mais forte implica o lema original ao escolher ${\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}}$.[2]

Prova

O tempo de parada mais precoce para atingir o ponto de cruzamento ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}}$, é um tempo de parada limitado quase certamente. Então, podemos aplicar a propriedade forte de Markov para deduzir que um caminho relativo subsequente a ${\displaystyle \tau _{a}}$, dado por ${\displaystyle X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a}$, é também um movimento browniano simples independente de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$. Então, a distribuição de probabilidade para o último tempo ${\displaystyle W(s)}$ está no limiar ${\displaystyle a}$ ou acima dele no intervalo de tempo ${\displaystyle [0,t]}$ e pode ser decomposta como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}.}$

Pela propriedade de torre para expectativas condicionais, o segundo termo se reduz a:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}}$

já que ${\displaystyle X(t)}$ é um movimento browniano padrão independente de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}}$ e tem probabilidade ${\displaystyle 1/2}$ de ser menor que ${\displaystyle 0}$. A prova do lema é completada ao substituir isto na segunda linha da primeira equação:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}.}$[3]

Consequências

O princípio da reflexão é frequentemente usado para simplificar propriedades distributivas do movimento browniano. Considerando o movimento browniano no intervalo restrito ${\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}$, então o princípio da reflexão nos permite provar que a locação dos máximos ${\displaystyle t_{\text{max}}}$, que satisfazem ${\displaystyle W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)}$, tem a distribuição arco-seno. Esta é uma das leis arco-seno de Lévy.[4]

Referências

1. Jacobs, Kurt (2010). Stochastic Processes for Physicists: Understanding Noisy Systems (em inglês). [S.l.]: Cambridge University Press. pp. Cambridge. ISBN 9781139486798. Consultado em 27 de fevereiro de 2018 
2. Beichelt, Frank; Fatti, Paul (2001). Stochastic Processes and Their Applications (em inglês). Boca Raton: CRC Press. ISBN 9780415272322. Consultado em 27 de fevereiro de 2018 
3. Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Brownian Motion (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781139486576. Consultado em 27 de fevereiro de 2018 
4. Lévy, Paul (1940). «Sur certain processus stochastiques homogènes» (PDF). Compositio Mathematica. Consultado em 27 de fevereiro de 2018