Polinômio de Alexander

Em matemática, o polinômio de Alexander é um nó constante que atribui um polinômio com coeficientes inteiros para cada tipo de nó. James Waddell Alexander II descobriu o primeiro nó de polinômio em 1923. Em 1969, John Conway mostrou uma versão deste polinômio, agora chamado de Polinômio de Alexander–Conway, pode ser calculado usando uma relação de Skein, embora o seu significado não tenha sido realizado até a descoberta do polinômio de Jones, em 1984. Logo depois da reformulação de Conway do polinômio de Alexander, percebeu-se que existia uma relação de skein semelhante em um papel de Alexander.[1]

Definição

Seja K um nó na 3-esfera. Seja X  o infinito ciclo de recobrimento do complemento de K. Este recobrimento pode ser obtido cortando o complemento do nó ao longo de uma superfície Seifert de K e colando um número infinito de cópias resultante da variedade tridimensional com o limite de forma cíclica. Há uma transformação de recobrimento t agindo em X. Considerando a primeira homologia (com coeficientes inteiros) de X, denotada ${\displaystyle }$. A transformação t age sobre a homologia e assim, podemos considerar ${\displaystyle }$ um módulo sobre ${\displaystyle }$. Esta é a chamada Constante de Alexander ou módulo Alexander.

O módulo é finitamente apresentável; uma aprentação de matriz para este módulo é chamado matriz de Alexander. Se o número de geradores,r, é menor ou igual ao número de relações, s, então consideramos o gerador ideal por todos os r por r menores da matriz; este é o zero ī-ésimo encaixe ideal ou ideal de Alexander e não depende da escolha da apresentação da matriz. Se r > s, defina o ideal igual a 0. Se o ideal de Alexander é o principal, tome um gerador; isso é chamado de polinômio de Alexander de um nó. Uma vez que este só é exclusivo, até à multiplicação por Laurent monomial ${\displaystyle }$e , muitas vezes, se corrige uma determinada forma única. A escolha de Alexander de normalizar é fazer com que o polinômio positivo seja o termo constante.

Alexander provou que o ideal de Alexander é diferente de zero e sempre é o principal. Assim, um polinômio de Alexander sempre existe, e é claramente um nó constante, denotado ${\displaystyle }$. O polinômio de Alexander para o nó configurado por apenas uma sequência de caracteres é um polinômio de t^2 , sendo assim, é o mesmo polinômio para a imagem do nó espelhado. Ou seja, ele não pode distinguir entre o nó e sua imagem espelhada.

Calculando o polinômio

O procedimento a seguir para calcular o polinômio de Alexander foi dada por J. W. Alexander, em seu papel.

Tomando um diagrama de nó orientado com n cruzamentos, existem n + 2 regiões do diagrama de nó. Para trabalhar o polinômio de Alexander, primeiro deve-se criar uma matriz de incidência de tamanho (n, n + 2). As n linhas correspondem aos n cruzamentos e a n + 2 colunas para as regiões. Os valores para a matriz de entradas são 0, 1, -1, t, −t.

Considerando a entrada correspondente a uma determinada região e cruzamentos. Se a região não for adjacente ao cruzamento, a entrada é 0. Se a região adjacente ao cruzamento, a entrada depende da sua localização. A tabela a seguir mostra a entrada determinada pela localização da região em que se cruzam a partir da perspectiva da entrada da linha do subcruzamento.

a esquerda antes do subcruzamento: −t

no lado direito, antes do subcruzamento: 1

à esquerda, depois do subcruzamento: t

à direita após o subcruzamento: -1

Removendo duas colunas correspondentes a regiões adjacentes da matriz, e trabalhando fora do determinante da nova n por n matriz. Dependendo das colunas removidas, a resposta será diferente da multiplicação por ${\displaystyle }$. Para resolver esta ambiguidade,basta dividir pela maior potência possível de t e multiplicar por -1, se necessário, portanto, que o termo constante é positivo. Isto dá o polinômio de Alexander.

O polinômio de Alexander também pode ser calculado a partir da matriz Seifert.

Após os trabalhos de Alexander R. Fox considerado uma subapresentação do nó de grupo ${\displaystyle }$e a introdução de não-comutativa do cálculo diferencial Fox (1961), que também permite calcular ${\displaystyle }$. Exposição detalhada dessa abordagem sobre o maior polinômio de Alexander pode ser encontrado no livro Crowell & Fox (1963).

Propriedades básicas do polinômio

O polinômio de Alexander é simétrico: ${\displaystyle }$ para todos os nós, K. Do ponto de vista da definição, esta é uma expressão do isomorfismo de Dualidade de Poincaré

${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$ onde ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ por ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$, considerado como um ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-módulo, e onde ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$ é o conjugado ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$-módulo para ${\displaystyle H_{1}X}$ ,isto é, como um grupo abeliano é idêntico a ${\displaystyle H_{1}X}$as a transformação do recobrimento ${\displaystyle t}$ por ${\displaystyle t^{-1}}$.

seu valor da unidade em 1: ${\displaystyle }$.

Do ponto de vista da definição, esta é uma expressão do fato de que o complemento do nó é um círculo homólogo, geradas pelo recobrimento da transformação ${\displaystyle }$. Mais geralmente se ${\displaystyle }$ é um 3-coletor de tal forma que ${\displaystyle }$ ele tem um polinômio de Alexander ${\displaystyle }$ definido como a ordem ideal de seu infinito ciclo de recobrimento. Neste caso, ${\displaystyle }$ é, até sinal, igual à ordem do subgrupo de torção de ${\displaystyle }$.

Cada integrante do polinômio de Laurent é simétrico e avalia-se para uma cada unidade de um 1, é o polinômio de Alexander de um nó (Kawauchi 1996).

Significância da geometria do polinômio

Desde o principal ideal de Alexander que, ${\displaystyle }$ se, e somente se, o subgrupo comutador do grupo de nó é perfeito(isto é. igual ao seu próprio subgrupo comutador).

Para um nó de fatia topológico, o polinômio de Alexander satisfaz a condição Fox–Milnor ${\displaystyle }$ onde ${\displaystyle }$ é algum outro integrante polinomial Laurent .

Duas vezes o gênero do nó, é limitado abaixo de acordo com o grau do polinômio de Alexander.

Michael Freedman provou que um nó na 3-esfera é uma fatia topológica;isto é, limites de um "plano local" em um disco topológico na 4-bola, se o polinômio de Alexander do nó é trivial (Freedman e Quinn, 1990).

Kauffman (1983) descreve a primeira construção do polinômio de Alexander via estado montantes derivados a partir de modelos físicos. Um levantamento desses tópico e outras conexões com a física são dadas em Kauffman (2001).

Existem outras relações com superfícies lisas 4-dimensional topológicas. Por exemplo, em determinadas hipóteses, não é uma forma de modificar um bom 4-coletor através da realização de uma cirurgia que consiste na remoção de um bairro de um toro bidimensional e substituindo-o com um nó complementar cruzou-se com a S^1. O resultado é um liso 4-coletor homeomórfico para o original, porém, agora  a constante de Seiberg-Witten foi modificada pela multiplicação com o polinômio de Alexander do nó.[2]

Nós com simetrias são conhecidos por ter restringido polinômios de Alexander. Ver a seção da simetria (Kawauchi 1996). No entanto, o polinômio de Alexander pode falhar ao detectar algumas simetrias, tais como forte inversibilidade.

Se o complemento do nó de fibras está sobre o círculo, então o nó polinômio de Alexander é conhecido por ser mônicos(coeficientes da mais alta e a mais baixa ordem de termos são iguais a ${\displaystyle }$). Na verdade, se ${\displaystyle }$ é um feixe de fibras, onde ${\displaystyle }$ é o complemento de nó, deixe ${\displaystyle }$ representa a monodromia, em seguida, ${\displaystyle }$ onde ${\displaystyle }$ é o mapa induzido em homologia.

Relações de operações de satélite

Se um nó ${\displaystyle K}$ é um nó de satélite com o nó padrão${\displaystyle K'}$ (existe uma incorporação ${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$ de tal modo que ${\displaystyle K=f(K')}$, onde${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$ É um deslace em um sólido toral contendo ${\displaystyle K'}$), então ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$, onde ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$´´e o inteiro que representa ${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$ em${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$.

Exemplos: Para uma soma conectada ${\displaystyle }$. Se ${\displaystyle }$ é sem torção e Whitehead duplo, ${\displaystyle }$.

Polinômio de Alexander–Conway

Alexandre provou o polinômio de Alexander satisfaz um novelo de relação. John Conway mais tarde redescoberto isso de uma forma diferente e mostrou que a meada relação, juntamente com uma escolha de valor sobre o unknot foi o suficiente para determinar o polinˆ omio. Conway versão é um polinˆ omio em z com coeficientes inteiros, denotada ${\displaystyle }$ e chamou-a de Alexander–Conway polinômio (também conhecido como Conway polinomial ou Conway–Alexandre polinomial).

Suponha que temos uma orientada para o enlace do diagrama, onde ${\displaystyle }$ são diagramas de enlaces resultantes de cruzamento e a suavização de mudanças em uma região de um determinado cruzamento do diagrama, como indicado na figura.

Aqui estão as relações da estrutura de Conway:

• ${\displaystyle }$ (onde S é qualquer diagrama do nó trivial)
• ${\displaystyle }$

A relação com o padrão do polinômio de Alexandre é dado por ${\displaystyle }$. Aqui ${\displaystyle }$ devem ser devidamente normalizada (pela multiplicação de ${\displaystyle }$) para satisfazer a meada relação ${\displaystyle }$. Note que esta relação dá um polinômio de Laurent em t^1/2.

Veja teoria de nós para um exemplo de computação a Conway polinomial do trevo.

Relação de homologia Floer

Usando curvas pseudo-holomorfas, Ozsvath & Szabo (2004) e Rasmussen (2003) associado um  grupo abeliano, chamado de nó Floer homológico, para cada classe de nós isótopos. Os classificados da característica de Euler do nó de Floer homológico é o polinômio de Alexander. Enquanto o polinômio de Alexander dá um limite inferior sobre o gênero de um nó, Ozsvath & Szabo (2004b) mostrou que o nó de Floer homológico detecta o gênero. Da mesma forma, enquanto o polinômio de Alexander dá uma obstrução de um nó complementar fibrado sobre o círculo, Ni (2007) mostraram que o nó de Floer homológico determina completamente quando um complemento de nó de fibras sobre o círculo. O grupos de nós de Floer homológicos são parte da família homológicas de Heegaard Floer das constantes; ver homologia de Floer para uma discussão mais aprofundada.

Notas

1. Alexander describes his skein relation toward the end of his paper under the heading "miscellaneous theorems", which is possibly why it got lost. Joan Birman mentions in her paper New points of view in knot theory (Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 28 (1993), no. 2, 253–287) that Mark Kidwell brought her attention to Alexander's relation in 1970.
2. Fintushel and Stern (1997) – Knots, links, and 4-manifolds

References

• Alexander, J. W. (1928). «Topological invariants of knots and links». Trans. Amer. Math. Soc. 30 (2): 275–306. doi:10.2307/1989123 
• Crowell, R.; Fox, R. (1963). Introduction to Knot Theory. [S.l.]: Ginn and Co. after 1977 Springer Verlag 
• Adams, Colin C. (2004). The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots Revised reprint of the 1994 original ed. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3678-1  (accessible introduction utilizing a skein relation approach)
• Fox, R. (1961). «A quick trip through knot theory, In Topology of ThreeManifold» Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, edited by M.K.Fort ed. Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hall: 120–167 
• Freedman, Michael H.; Quinn, Frank (1990). Topology of 4-manifolds. Col: Princeton Mathematical Series. 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3 
• Kauffman, Louis (1983). «Formal Knot Theory». Princeton University press 
• Kauffman, Louis (2012). Knots and Physics 4th ed. [S.l.]: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4383-00-4 
• Kawauchi, Akio (1996). A Survey of Knot Theory. [S.l.]: Birkhauser  (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
• Ozsvath, Peter; Szabo, Zoltan (2004). «Holomorphic disks and knot invariants». Adv. Math. 186 (1): 58–116. Bibcode:2002math......9056O. arXiv:math/0209056. doi:10.1016/j.aim.2003.05.001 
• Ozsvath, Peter; Szabo, Zoltan (2004b). «Holomorphic disks and genus bounds». Geom. Topol. 8: 311–334. arXiv:math/0311496. doi:10.2140/gt.2004.8.311 
• Ni, Yi (2007). «Knot Floer homology detects fibred knots». Invent. Math. 170 (3): 577–608. arXiv:math/0607156. doi:10.1007/s00222-007-0075-9 
• Rasmussen, J. (2003). «Floer homology and knot complements». PhD thesis Harvard University. 6378 páginas. Bibcode:2003math......6378R. arXiv:math/0306378 
• Rolfsen, Dale (1990). Knots and Links 2nd ed. Berkeley, CA: Publish or Perish. ISBN 0-914098-16-0  (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Alexander invariants», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Predefinição:Knot Atlas – knot and link tables with computed Alexander and Conway polynomials