Medida Plancherel

Em matemática, a medida Plancherel é uma medida definida sobre o conjunto de representações irredutíveis unitárias de um grupo localmente compacto ${\displaystyle G}$, que descreve como a representação regular se fragmenta em representações unitárias irredutíveis. Em alguns casos, o termo medida Plancherel é aplicado especificamente no contexto do grupo ${\displaystyle G}$ sendo o grupo simétrico finito ${\displaystyle S_{n}}$. É nomeado em homenagem ao matemático Suíço Michel Plancherel por seu trabalho na representação teoria.

Definição para grupos finitos

Deixe ${\displaystyle G}$ ser um grupo finito, denotamos o conjunto de suas representações irredutíveis por ${\displaystyle G^{\wedge }}$. A correspondente medida Plancherel sobre o conjunto ${\displaystyle G^{\wedge }}$ é definida por

${\displaystyle \mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}},}$

onde ${\displaystyle \pi \in G^{\wedge }}$e ${\displaystyle \mathrm {dim} \pi }$ denota a dimensão da representação irredutível ${\displaystyle \pi }$. [1]

Definição no grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$

Um importante caso especial é o caso do grupo simétrico (finito) ${\displaystyle S_{n}}$, onde ${\displaystyle n}$ é um número inteiro positivo. Para este grupo, o conjunto de ${\displaystyle S_{n}^{\wedge }}$ de representações irredutíveis é uma natural bijectivação com o conjunto de partições inteiras ${\displaystyle n}$. Para uma representação irredutível associado a um número inteiro de partição ${\displaystyle \lambda }$, a sua dimensão é conhecida por ser igual a ${\displaystyle f^{\lambda }}$o número do padrão do Diagrama de Young de forma ${\displaystyle \lambda }$e , por isso, neste caso a medida Plancherel é muitas vezes considerada como uma medida sobre o conjunto de partições de inteiros de ordem n, dada por

${\displaystyle \mu (\lambda )={\frac {(f^{\lambda })^{2}}{n!}}.}$ [2]

O fato de que as probabilidades somam até 1 resultam da combinatória de identidade

${\displaystyle \sum _{\lambda \vdash n}(f^{\lambda })^{2}=n!,}$

o que corresponde a natureza bijective da correspondência de Robinson–Schensted .

Grupos de Lie semi-simples

A medida Plancherel para os grupos de Lie semi-simples, foi encontrada por Harish-Chandra. O suporte é o conjunto de representações temperadas, e, em particular, nem todas as representações unitárias precisam ocorrer no suporte.

Referências

1. «Asymptotics of Plancherel measures for symmetric groups». J. Amer. Math. Soc. 13:491–515 
2. «Discrete orthogonal polynomial ensembles and the Plancherel measure». Annals of Mathematics. 153. arXiv:math/9906120. doi:10.2307/2661375 

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