Leonardo graduou-se em Direito pela Universidade Federal de Minas Gerais em 1991. No mesmo ano, obteve diploma em Estudos Avançados em Direitos Humanos pelo Instituto Interamericano de Derechos Humanos (IIDH).[1][2]
Em 1996 e 1997, obteve, respectivamente, qualificações em Estudos Avançados em Direitos Humanos pelo Institut international des droits de l'homme e em Estudos Avançados em Reformas das Nações Unidas através do “United Nations Study Programme”, em Genebra.[1][2]
Em 2000, concluiu o doutorado em Direito Internacional, pela Université Paris X – Nanterre com a tese “A Autoridade da Coisa Julgada no Direito Internacional Público”, vencedora do “Prix de la Chancellerie de l'Académie de Paris, Ministere de la Recherche - Departement Sciences de la Societe de la Republique Française”.
Em 2002, co-fundou o Nemer Caldeira Brant Advogados,[11] escritório especializado em direito internacional, direito penal internacional e direitos humanos.
Em 2005, Brant fundou o Centro de Direito Internacional (CEDIN), sediado em Belo Horizonte.[5] A instituição é um centro de pesquisa especializado em direito internacional, direito humanitário, direito penal internacional e segurança internacional.
Brant também fundou o Anuário Brasileiro de Direito Internacional, em 2006.
Em junho de 2014, Brant foi oficialmente indicado pelo governo brasileiro como candidato ao posto de juiz do Tribunal Penal Internacional na Haia. Porém, não foi eleito.[7] A única brasileira escolhida, até hoje, para a função foi a jurista Sylvia Steiner (em 2002).